[论文解读] Entropic relations for indistinguishable quantum particles

Marius Lemm|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Quantum many-body systems参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文利用量子信息工具（如量子相对熵的单调性）证明，在特定维度约束下，费米子系统的两体约化密度矩阵的熵由斯莱特行列式最小化。该研究建立了所有k值下k体熵的一般凹性和单调性性质，改进了多费米子系统中纠缠的下界，并在渐近意义下证实了Carlen、Lieb和Reuvers提出的猜想。

ABSTRACT

The von Neumann entropy of a $k$-body reduced density matrix $γ_k$ quantifies the entanglement between $k$ quantum particles and the remaining ones. In this short paper, we rigorously prove general properties of this entanglement entropy as a function of $k$: it is concave for all $1\leq k\leq N$ and non-decreasing until the midpoint $k\leq \lfloor N/2 floor$. The results hold for indistinguishable quantum particles and are independent of the statistics.

研究动机与目标

• 解决Carlen、Lieb和Reuvers（CLR）提出的猜想，即费米子态的两体约化密度矩阵熵由斯莱特行列式最小化。
• 建立k体约化密度矩阵熵作为k的函数的一般结构性质——凹性和单调性。
• 通过利用量子信息技术，特别是量子相对熵的单调性，改进现有对两体熵的下界估计。
• 在希尔伯特空间维度不太大的条件下，对CLR猜想的渐近形式提供确认。

提出的方法

• 利用量子相对熵在部分迹操作下的单调性，推导出控制k体约化密度矩阵熵的不等式。
• 应用Coleman（1963）关于一维熵最小化的定理，以指导两体情况的分析。
• 利用对称性 $ S(\gamma_k) = S(\gamma_{N-k}) $，将系统粒子划分下的熵相互关联。
• 推导出恒等式 $ S_k = -D(\gamma_k \| \pi_k) + \log d_k $，将熵与反对称子空间上最大混合态的相对熵联系起来。
• 利用性质 $ \mathrm{Tr}_{l+1,\ldots,m}[\pi_m] = \pi_{m-l} $，建立不同粒子数下最大混合态约化态之间的关系。
• 结合上述恒等式与相对熵单调性，推导出 $ S(\gamma_2) $ 的改进下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 费米子态的两体约化密度矩阵熵是否如Carlen、Lieb和Reuvers所猜想的那样，由斯莱特行列式最小化？
• RQ2 对于费米子纯态，k体约化密度矩阵的熵如何随k变化？
• RQ3 k体熵的单调性和凹性性质能否在费米子系统中对所有k值严格建立？
• RQ4 能否利用量子信息理论工具改进 $ S(\gamma_2) $ 的下界？
• RQ5 在何种条件下，CLR猜想的渐近形式成立？

主要发现

• 对于所有 $ 1 \leq k \leq N $，k体约化密度矩阵的熵 $ S(\gamma_k) $ 在k上是凹的，这是费米子纯态的一般结构性质。
• 对于 $ 1 \leq k \leq \frac{N-1}{2} $，熵 $ S(\gamma_k) $ 是非递减的，反映了粒子数增加导致的纠缠增强。
• 当希尔伯特空间维度d满足 $ d \leq 2N-3 $ 时，本文证明了CLR猜想的渐近形式，表明 $ S(\gamma_2) \geq S(\gamma_1) + \log\left(\frac{N-1}{d-N+2}\right) $。
• 通过利用量子相对熵的单调性以及反对称子空间上最大混合态的结构，改进了 $ S(\gamma_2) $ 的下界估计，优于先前结果。
• 所有k体约化密度矩阵对于费米子纯态均具有严格正的熵，意味着没有任何费米子态可以完全无纠缠。
• 恒等式 $ S_k = -D(\gamma_k \| \pi_k) + \log d_k $ 成立，将熵表达为相对于反对称子空间上最大混合态的相对熵。