[论文解读] Entropic repulsion for the occupation-time field of Random interlacements conditioned on disconnection

Alberto Chiarini, Maximilian Nitzschner|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 36被引用 7

一句话总结

该论文为在大盒子边界上对紧致集 A 的离散放大体实现断开的条件下，建立了 Z^d（d ≥ 3）上随机穿孔过程的占用时间分布的渐近大偏差上界。在临界渗滤水平合理一致的假设下，条件断开诱导出一种熵排斥效应，使局部占用时间分布向函数 (√u + (√u* − √u)h_A(x/N))² 推动，其中 h_A 是 A 的调和势。这与高斯自由场中观察到的类似熵排斥现象相呼应，进一步表明倾斜穿孔过程自然地成为实现断开的最优策略。

ABSTRACT

We investigate percolation of the vacant set of random interlacements on $\mathbb{Z}^d$, $d\geq 3$, in the strongly percolative regime. We consider the event that the interlacement set at level $u$ disconnects the discrete blow-up of a compact set $A\subseteq \mathbb{R}^d$ from the boundary of an enclosing box. We derive asymptotic large deviation upper bounds on the probability that the local averages of the occupation times deviate from a specific function depending on the harmonic potential of $A$, when disconnection occurs. If certain critical levels coincide, which is plausible but open at the moment, these bounds imply that conditionally on disconnection, the occupation-time profile undergoes an entropic push governed by a specific function depending on $A$. Similar entropic repulsion phenomena conditioned on disconnection by level-sets of the discrete Gaussian free field on $\mathbb{Z}^d$, $d \geq 3$, have been obtained by the authors in arxiv:1808.09947. Our proofs rely crucially on the `solidification estimates' developed in arXiv:1706.07229 by A.-S. Sznitman and the second author.

研究动机与目标

• 分析在 Z^d（d ≥ 3）上，当随机穿孔过程被条件限制为离散放大紧致集 A 与大盒子边界断开时，其占用时间场的行为。
• 推导局部占用时间平均值偏离由 A 的调和势决定的分布之偏差的渐近大偏差上界。
• 研究条件断开是否导致占用时间分布出现类似高斯自由场中观察到的现象的熵推斥效应。
• 提供证据表明，此前用于构造断开概率下界的倾斜穿孔过程，在断开发生时自然地成为典型构型。

提出的方法

• 使用 Sznitman 和 Nitzschner 在 [17] 中开发的 '致密化估计' 技术，推导渐近大偏差上界，该技术可控制扰动下离散集合的容量。
• 引入归一化的占用时间测度 LN,u = 1/N^d ∑_{x∈Z^d} Lx,u δ_{x/N}，以研究穿孔强度的空间分布。
• 定义经验占用时间测度与目标分布 Mu^A(x) = (√u + (√u* − √u)h_A(x))² 之间的距离 dR(LN,u, Mu^A)，其中 h_A 是 A 的调和势。
• 通过耦合论证和离散容量与布朗运动容量之间的比较，控制偏差概率。
• 通过倾斜穿孔的测度变换技术，局部将强度提高至 u*∗，以建模断开机制。
• 利用扰动和标度估计，比较离散容量与布朗运动容量，将离散集合容量与连续填充容量关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 将随机穿孔过程条件化为紧致集 A 与大盒子边界断开时，是否会在局部占用时间分布上引起系统性偏移？
• RQ2 此前用以建模断开最优策略的倾斜穿孔过程，能否在条件化下被严格证明为典型行为？
• RQ3 当发生断开时，占用时间分布的渐近行为如何？其依赖于集合 A 的调和势如何？
• RQ4 在临界渗滤水平 u, u*, 和 u** 满足何种条件时，熵排斥效应可被定量精确描述？
• RQ5 占用时间分布偏离目标分布 Mu^A 的代价是否与断开事件的大偏差率一致？

主要发现

• 论文建立了渐近大偏差上界：lim sup_N (1/N^{d-2}) log P[dR(LN,u, Mu^A) ≥ Δ; Du_N] ≤ −1/d(√u* − √u)^2 cap(˚A) − c1(Δ, R, A, u)，其中当 u → 0 时，c1(Δ, R, A, u) ∼ c2(Δ, R, A)√u。
• 若临界水平满足 u = u* = u** 且 cap(A) = cap(˚A)，则当 N → ∞ 时，条件占用时间测度 LN,u 依分布收敛至 Mu^A，表明熵排斥导致确定性偏移。
• 熵排斥效应表现为局部占用时间分布的增加，使其趋向于 (√u + (√u* − √u)h_A(x/N))²，对应于 A 附近有效穿孔强度的提高。
• 偏离目标分布 Mu^A 的代价在定量上被下界控制，且当 u → 0 时该下界趋于零，与倾斜穿孔策略在罕见事件区域成为最优的观念一致。
• 结果扩展了高斯自由场与随机穿孔中熵排斥现象之间的类比，提示对罕见断开事件进行条件化时存在一种普遍机制。
• 证明关键依赖于致密化估计以及离散与布朗运动容量之间的容量比较，特别是通过 cap(Γ(r))/cap(Γ) 的一致有界性，其标度为 (1 ± δK,L)(1 ± 2r)^{d−2}。