[论文解读] Entropic scrambling complexities

Zi-Wen Liu, Huangjun Zhu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 2

一句话总结

本文引入Rényi纠缠熵作为量子系统中随机性复杂度的诊断工具，表明当设计阶数为系统维度的对数阶时，可实现最大scrambling——即最大纠缠熵，从而推广了快速scrambling猜想。通过纠缠熵度量，建立了scrambling与Haar随机性之间的层级关系。

ABSTRACT

Scrambling is a process by which the state of a quantum system is effectively randomized due to the global entanglement that hides initially localized quantum information. In this work, we lay the mathematical foundations of studying randomness complexities beyond scrambling by entanglement properties. We do so by analyzing the generalized (in particular Renyi) entanglement entropies of designs, i.e. ensembles of unitary channels or pure states that mimic the uniformly random distribution (given by the Haar measure) up to certain moments. A main collective conclusion is that the Renyi entanglement entropies averaged over designs of the same order are almost maximal. This links the orders of entropy and design, and therefore suggests Renyi entanglement entropies as diagnostics of the randomness complexity of corresponding designs. Such complexities form a hierarchy between information scrambling and Haar randomness. As a strong separation result, we prove the existence of (state) 2-designs such that the Renyi entanglement entropies of higher orders can be bounded away from the maximum. However, we also show that the min entanglement entropy is maximized by designs of order only logarithmic in the dimension of the system. In other words, logarithmic-designs already achieve the complexity of Haar in terms of entanglement, which we also call max-scrambling. This result leads to a generalization of the fast scrambling conjecture, that max-scrambling can be achieved by physical dynamics in time roughly linear in the number of degrees of freedom.

研究动机与目标

• 通过将纠缠熵作为诊断工具，建立量子信息scrambling与Haar随机性之间的层级关系。
• 分析不同阶数的酉和态设计下广义（特别是Rényi）纠缠熵的行为。
• 确定实现最大纠缠熵（即max-scrambling）所需的最小设计阶数。
• 通过设计阶数将物理动力学时间尺度与纠缠复杂度关联，推广快速scrambling猜想。

提出的方法

• 对指定阶数的酉和纯态设计，分析其广义（Rényi）纠缠熵的平均值。
• 以Haar测度作为均匀随机性的基准，将设计矩与之比较至指定阶数。
• 推导不同阶数设计下Rényi纠缠熵的界，尤其关注极小熵和高阶Rényi熵。
• 证明当设计阶数为系统维度的对数阶时，可饱和最大可能的纠缠熵（max-scrambling）。
• 应用随机矩阵理论和设计理论的结果，刻画随机量子通道和态的典型纠缠特性。
• 建立高阶Rényi熵与最大值之间的分离，表明即使在高阶设计下，其值仍可与最大值保持有界距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子设计的阶数与所得Rényi纠缠熵之间存在何种关系？
• RQ2 Rényi纠缠熵能否作为量子设计随机性复杂度的有效诊断工具？
• RQ3 实现最大纠缠熵（即max-scrambling）所需的最小设计阶数是多少？
• RQ4 在设计中，高阶Rényi熵相对于最大可能值的行为如何？
• RQ5 能否通过将纠缠熵作为复杂度度量，推广快速scrambling猜想？

主要发现

• 相同阶数设计下平均的Rényi纠缠熵接近最大值，表明设计阶数与熵随机性复杂度之间存在关联。
• 存在某些2-design，其高阶Rényi纠缠熵与最大值保持有界距离，表明scrambling与完全Haar随机性之间存在分离。
• 当设计阶数为系统维度的对数阶时，极小纠缠熵达到最大，表明此类设计实现了max-scrambling。
• 对数阶设计已足以饱和最大纠缠熵，意味着max-scrambling可通过相对较低的设计阶数实现。
• 结果通过将物理动力学时间尺度与设计阶数关联，推广了快速scrambling猜想，表明物理动力学可在自由度数量线性的时间内实现max-scrambling。