[论文解读] "Entropic" solutions to a thermodynamically consistent PDE system for phase transitions and damage

Elisabetta Rocca, Riccarda Rossi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文建立了用于建模热粘弹性材料中非等温相变与损伤的热力学一致PDE系统的全局时间弱解的‘熵解’的存在性。通过以熵不等式和总能量平衡来表述温度方程，避免了小扰动假设，作者克服了能量方程中二次速度项的挑战，从而在无需对初始数据大小施加限制的情况下，通过一种量身定制的时间半离散化方案与细致的先验估计，实现了全局解的存在性结果。

ABSTRACT

In this paper we analyze a PDE system modelling (non-isothermal) phase transitions and damage phenomena in thermoviscoelastic materials. The model is thermodynamically consistent: in particular, no small perturbation assumption is adopted, which results in the presence of quadratic terms on the right-hand side of the temperature equation, only estimated in L1. The whole system has a highly nonlinear character. We address the existence of a weak notion of solution, referred to as entropic, where the temperature equation is formulated with the aid of an entropy inequality, and of a total energy inequality. This solvability concept reflects the basic principles of thermomechanics as well as the thermodynamical consistency of the model. It allows us to obtain global-in-time existence theorems without imposing any restriction on the size of the initial data. We prove our results by passing to the limit in a time discretization scheme, carefully tailored to the nonlinear features of the PDE system (with its entropic formulation), and of the a priori estimates performed on it. Our time-discrete analysis could be useful towards the numerical study of this model.

研究动机与目标

• 建立用于建模热粘弹性材料中非等温相变与损伤的热力学一致PDE系统弱解的存在性。
• 解决温度方程中二次项及系统高度非线性性带来的数学挑战。
• 提出一种新的可解性概念——‘熵解’，以反映热力学原理，并避免小扰动假设。
• 通过新颖的时间半离散化方案，证明解在全局时间范围内的存在性，且对初始数据大小无限制。

提出的方法

• 引入基于熵不等式与总能量不等式的弱解概念，替代点态内能平衡。
• 通过使用对数测试函数和基于熵的不等式来处理二次项，从而表述温度方程。
• 采用专为系统非线性结构设计的时间半离散化方案，尤其针对多值次微分项与非光滑能量贡献。
• 对离散格式进行细致的先验估计，重点控制熵与能量边界，以控制二次项。
• 使用广义Helly定理与Young测度理论，将时间离散格式中的极限过程传递至连续情形。
• 基于有界变差与自反Banach空间中的弱收敛，采用紧致性论证以恢复极限函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为包含温度方程中二次项的热力学一致PDE系统，建立全局时间弱解？
• RQ2 在强非线性存在的情况下，如何使缺乏小扰动假设与解的存在性相协调？
• RQ3 当系统包含相变与损伤时，何种弱解概念最能反映热力学原理？
• RQ4 能否设计一种时间半离散化方案，以保持系统的非线性结构并实现向全局解的收敛？
• RQ5 在高度非线性系统中，是否可能在不施加初始数据大小限制的条件下证明解的存在性？

主要发现

• 本文证明了在无需小扰动假设的前提下，对完整PDE系统，全局时间‘熵解’的存在性。
• 该解概念基于熵不等式与总能量不等式，确保了热力学一致性，并可有效控制温度方程中的二次项。
• 时间半离散化方案专门设计用于处理系统的非线性性，包括多值次微分项与非光滑能量贡献。
• 仅在L1范数下导出二次项的先验估计，这在熵形式化框架下已足够。
• 极限函数在连续情形下满足熵不等式与能量不等式，证实了解概念的有效性。
• 该方法实现了对初始数据大小无限制的解存在性结果，相较于先前方法具有显著进步。