[论文解读] Entropy along expanding foliations

Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用 32

一句话总结

该论文在微分同胚的C¹扰动、不变测度（弱*拓扑）及叶状结构下，建立了沿扩张叶状结构的偏熵的上半连续性。证明了在不稳定叶状结构上的度量熵具有上半连续性，从而得出若干关键结果：Gibbs u-态的集合在C¹拓扑下是上半连续的，具有大部分扩张或收缩中心的偏双曲微分同胚在C¹拓扑下是开的，且构造出新的C²保体积微分同胚，其具有非零中心指数且具有鲁棒遍历性。

ABSTRACT

The (measure-theoretical) entropy of a diffeomorphism along an expanding invariant foliation is the rate of complexity generated by the diffeomorphism along the leaves of the foliation. We prove that this number varies upper semi-continuously with the diffeomorphism ($\C^1$ topology), the invariant measure (weak* topology) and the foliation itself in a suitable sense. This has several important consequences. For one thing, it implies that the set of Gibbs $u$-states of $\C^{1+}$ partially hyperbolic diffeomorphisms is an upper semi-continuous function of the map in the $\C^1$ topology. Another consequence is that the sets of partially hyperbolic diffeomorphisms with mostly contracting or mostly expanding center are $\C^1$ open. New examples of partially hyperbolic diffeomorphisms with mostly expanding center are provided, and the existence of physical measures for $C^1$ residual subset of diffeomorphisms are discussed. We also provide a new class of robustly transitive diffeomorphisms: every $C^2$ volume preserving, accessible partially hyperbolic diffeomorphism with one dimensional center and non-vanishing center exponent is $C^1$ robustly transitive (among neighborhood of diffeomorphisms which are not necessarily volume preserving).

研究动机与目标

• 在微分同胚的C¹扰动下，建立沿扩张叶状结构的度量熵的上半连续性。
• 在具有不变扩张叶状结构的偏双曲系统背景下，分析偏熵的正则性。
• 将正则性结果应用于证明具有大部分扩张或收缩中心方向的微分同胚集合的开性。
• 为具有非零中心指数的C²保体积可访问偏双曲微分同胚建立鲁棒遍历性。
• 为具有大部分扩张中心的偏双曲微分同胚提供新例子，并讨论C¹残子集微分同胚的物理测度。

提出的方法

• 利用次级可测划分理论来定义并分析沿扩张叶状结构的偏熵。
• 应用维数理论与Pesin熵公式，控制叶面上测度复杂性的增长。
• 利用不变测度的弱*收敛与微分同胚的C¹收敛，建立熵的上半连续性。
• 利用Gibbs u-态的概念——即沿不稳定叶具有绝对连续分解的测度——将熵的正则性与统计性质联系起来。
• 应用Pesin理论中一个引理（引理A.1）的修改版本，控制小球上测度的衰减，从而实现良好划分的构造。
• 将熵的正则性与遍历分解及基本域论证相结合，在中心行为非扩张的情况下导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在微分同胚的C¹扰动下，沿扩张叶状结构的偏熵是否具有上半连续性？
• RQ2 对于C¹+偏双曲微分同胚，Gibbs u-态的集合在C¹拓扑下是否上半连续？
• RQ3 具有大部分收缩或大部分扩张中心方向的C¹微分同胚集合是否在C¹拓扑下是开的？
• RQ4 能否构造出具有大部分扩张中心的新偏双曲微分同胚例子？
• RQ5 C¹残子集微分同胚是否具有物理测度，以及偏熵在此情境中起什么作用？

主要发现

• 沿扩张叶状结构的偏熵关于微分同胚的C¹收敛、不变测度的弱*收敛以及叶状结构在定义2.2意义下的收敛，具有上半连续性。
• C¹+偏双曲微分同胚的Gibbs u-态集合在C¹拓扑下是上半连续的。
• 具有大部分收缩或大部分扩张中心方向的C¹微分同胚集合在C¹拓扑下是开的。
• 构造出具有大部分扩张中心的新偏双曲微分同胚例子，扩展了已知的类别。
• 每个具有一维中心且中心指数非零的C²保体积、可访问、偏双曲微分同胚，在C¹拓扑下都是鲁棒遍历的，即使在邻域内不假设体积保持性也成立。
• 物理测度存在于微分同胚的C¹残子集中，这是由熵的正则性与遍历分解论证共同得出的结论。