[论文解读] Entropy and heat kernel bounds on a Ricci flow background

Richard H. Bamler|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 14

一句话总结

本文通过引入共轭热核的方差单调性新公式，建立了里奇流最优的几何与分析界限，实现了对带基点纳什熵的局部控制，并推导出精确的高斯热核界限、体积估计以及改进的 $ C $-正则性定理。结果在维度相关常数范围内达到最优，并推广了里奇下确界空间的经典界限。

ABSTRACT

In this paper we establish new geometric and analytic bounds for Ricci flows, which will form the basis of a compactness, partial regularity and structure theory for Ricci flows in [Bam20a, Bam20b]. The bounds are optimal up to a constant that only depends on the dimension and possibly a lower scalar curvature bound. In the special case in which the flow consists of Einstein metrics, these bounds agree with the optimal bounds for spaces with Ricci curvature bounded from below. Moreover, our bounds are local in the sense that if a bound depends on the collapsedness of the underlying flow, then we are able to quantify this dependence using the pointed Nash entropy based only at the point in question. Among other things, we will show the following bounds: Upper and lower volume bounds for distance balls, dependence of the pointed Nash entropy on its basepoint in space and time, pointwise upper Gaussian bound on the heat kernel and a bound on its derivative and an $L^1$-Poincaré inequality. The proofs of these bounds will, in part, rely on a monotonicity formula for a notion, called variance of conjugate heat kernels. We will also derive estimates concerning the dependence of the pointed Nash entropy on its basepoint, which are asymptotically optimal. These will allow us to show that points in spacetime that are nearby in a certain sense have comparable pointed Nash entropy. Hence the pointed Nash entropy is a good quantity to measure local collapsedness of a Ricci flow Our results imply a local $\varepsilon$-regularity theorem, improving a result of Hein and Naber. Some of our results also hold for super Ricci flows.

研究动机与目标

• 通过带基点纳什熵建立一种局部、尺度不变的里奇流坍缩度量框架。
• 在不依赖全局标量曲率有界性条件下，推导出热核、球体积及梯度估计的精确、维度最优界限。
• 通过将全局非坍缩假设替换为局部带基点纳什熵控制，改进 $ C $-正则性定理。
• 从新几何视角理解里奇流中的时空结构，以 $ H_n $-中心和基于熵的局域化替代世界线。
• 将结果推广至超里奇流，并为未来工作 [Bam20a, Bam20b] 中的紧致性、部分正则性与结构理论奠定基础。

提出的方法

• 提出共轭热核方差的新单调性公式，用于控制带基点纳什熵的演化。
• 利用方差单调性推导热核及其导数的改进梯度估计。
• 基于带基点纳什熵，建立热核的点态上界高斯界限，且依赖关系最优。
• 利用共轭热核测度推导 $ L^1 $-Poincaré 不等式与超收缩估计。
• 通过渐近最优估计刻画带基点纳什熵对其基点的依赖关系。
• 将理论应用于证明一个局部 $ C $-正则性定理，其中正则性尺度仅依赖于基点处的熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将带基点纳什熵用作里奇流中坍缩度量的局部指标？
• RQ2 在一般里奇流上，热核及其梯度的最优点态界限是什么？
• RQ3 能否将 $ C $-正则性定理改进为仅依赖于某一点的局部熵，而非全局非坍缩性？
• RQ4 共轭热核的方差在里奇流下如何演化？其满足何种单调性性质？
• RQ5 在缺乏标量曲率有界性条件下，里奇下确界流形的经典界限在里奇流中能保持到何种程度？

主要发现

• 本文建立了热核的点态上界高斯界限，其对带基点纳什熵的依赖关系最优，推广了 Li-Yau 不等式。
• 带基点纳什熵在空间与时间上以受控方式变化，其界限为渐近最优，允许对邻近点的熵进行局部比较。
• 证明了 $ L^1 $-Poincaré 不等式，该不等式在相同局部熵控制下成立，对正则性理论至关重要。
• 仅通过中心点的带基点纳什熵，便推导出距离球的上下体积界限，无需全局曲率有界性假设。
• 建立了新的 $ C $-正则性定理，其中某点的正则性仅依赖于该点的带基点纳什熵，优于 Hein 与 Naber 的全局假设。
• 证明了里奇流中热流的超收缩性，时间尺度条件为 $ \tau_2 / \tau_1 \geq (p-1)/(q-1) $，将 Gross 型不等式推广至流设置。