[论文解读] Entropy and its variational principle for noncompact metric spaces

Mauro Patrão|ArXiv.org|Apr 26, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于可容许覆盖的非紧致度量空间的新型拓扑熵定义，并证明了变分原理，表明拓扑熵等于所有测度熵的上确界与所有可容许度量下度量熵的下确界。关键结果是：单连通幂零李群上的自同构的拓扑熵为零，这表明经典 $d$-熵公式仅是上界，而非精确值。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce a natural extension of AKM-topological entropy for noncompact spaces and prove a variational principle which states that the topological entropy, the supremum of the measure theoretical entropies and the minimum of the metric theoretical entropies always coincide. We apply the variational principle to show that the topological entropy of automorphisms of simply connected nilpotent Lie groups always vanishes. This shows that the classical formula for the entropy of an automorphism of a noncompact Lie group is just an upper bound for its topological entropy.

研究动机与目标

• 通过可容许覆盖将 AKM 拓扑熵推广至非紧致度量空间。
• 建立一个变分原理，将拓扑熵与测度熵的上确界及度量熵的下确界相等化。
• 解决经典 $d$-熵公式与非紧致李群中实际拓扑熵之间的差异。
• 确定单连通幂零李群上自同构的精确拓扑熵。

提出的方法

• 将可容许覆盖定义为每个集合或其补集具有紧致闭包的有限开覆盖。
• 通过极限 $ h(T) = \sup_{\alpha} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log N(\alpha^n) $ 定义拓扑熵，其中 $ N(\alpha^n) $ 表示 $ \alpha^n $ 的子覆盖中集合的最小数量。
• 证明变分原理：$ h(T) = \sup_{\mu} h_\mu(T) = \inf_d h_d(T) $，其中 $ d $ 遍历所有可容许度量。
• 利用适当的半共轭关系比较不同动力系统之间的熵。
• 应用乘法若尔当分解分析有限维向量空间上的线性映射。
• 利用单连通幂零李群上指数映射的微分同胚性质，将自同构共轭到其微分。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种一致的非紧致度量空间的拓扑熵定义，能推广 AKM 定义？
• RQ2 能否在非紧致设定下建立一个统一拓扑熵、测度熵与度量熵的变分原理？
• RQ3 线性映射的 $d$-熵经典公式 $ h_d(T) = \sum_{|\lambda|>1} \log|\lambda| $ 是拓扑熵的上界还是精确值？
• RQ4 单连通幂零李群上自同构的拓扑熵是多少？
• RQ5 能否通过其乘法若尔当分解刻画线性映射的循环集？

主要发现

• 尽管经典 $d$-熵公式暗示结果，但任意有限维向量空间上线性同构的拓扑熵为零。
• 线性映射 $ T $ 的循环集恰好是其双曲部分与幂零部分的不动点集的交集：$ R(T) = \text{fix}(T_H) \cap \text{fix}(T_U) $。
• 单连通幂零李群上自同构的拓扑熵恒为零。
• 经典公式 $ h_d(\phi) = \sum_{|\lambda|>1} \log|\lambda| $ 仅给出真实拓扑熵的上界，而非精确值。
• 变分原理成立且等号成立：$ h(T) = \sup_{\mu} h_\mu(T) = \inf_d h_d(T) $，其中下确界在可容许度量上取到。
• 圆周 $ S^1 $ 上平方映射的熵为 $ \log 2 > 0 $，但这不与结果矛盾，因为 $ \pi: \mathbb{R} \to S^1 $ 不是正规映射，故熵比较不成立。