[论文解读] Entropy and optimal decompositions of states relative to a maximal commutative subalgebra

Armin Uhlmann|ArXiv.org|Apr 8, 1997

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用 41

一句话总结

本文提出了一种在有限维量子系统中，针对极大交换子代数计算熵的新方法，利用凸分析与对称性解决纠缠形成问题的核心最优分解问题。主要贡献在于通过凸屋顶与凹屋顶对子代数熵进行了严格表征，针对完整矩阵代数的对角子代数给出了显式解。

ABSTRACT

To calculate the entropy of a subalgebra or of a channel with respect to a state, one has to solve an intriguing optimalization problem. The latter is also the key part in the entanglement of formation concept, in which case the subalgebra is a subfactor. I consider some general properties, valid for these definitions in finite dimensions, and apply them to a maximal commutative subalgebra of a full matrix algebra. The main method is an interplay between convexity and symmetry. A collection of helpful tools from convex analysis for the problems in question is collected in an appendix.

研究动机与目标

• 解决与状态相关的子代数熵的最优分解问题。
• 建立有限维∗-代数中熵与相对熵的一般性质。
• 将这些结果具体应用于完整矩阵代数的极大交换子代数。
• 阐明凸屋顶与凹屋顶在表征最优分解中的作用。
• 将形式化方法与纠缠形成及量子信息理论联系起来。

提出的方法

• 使用凸分析与对称性分析相对于状态的子代数熵。
• 应用Carathéodory定理，将最优凸分解的长度限制在n（状态空间的维数）以内。
• 定义在极小态上受限的冯诺依曼熵的凸包与凹包。
• 引入f^inf与f^sup的概念，分别作为凸屋顶与凹屋顶，以表征最优分解。
• 证明f^inf与f^sup是屋顶函数，在其各自的凸包Ω^inf_ω与Ω^sup_ω上为仿射函数。
• 证明当f^sup(ω) = f^inf(ω)时，ω位于熵为仿射的面中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限维量子系统中，如何计算相对于状态的子代数熵？
• RQ2 最小化或最大化熵贡献的最优凸分解的结构是什么？
• RQ3 在何种条件下子代数的熵为零，这又对状态及其分解意味着什么？
• RQ4 凸屋顶与凹屋顶如何与最优分解问题及纠缠测度相关联？
• RQ5 在状态分解的背景下，f^sup(ω) = f^inf(ω)的几何与代数意义是什么？

主要发现

• 子代数熵H_ω(B|A)由受限状态的冯诺依曼熵与极小分解上熵的凸包之差给出。
• 由于Carathéodory定理，熵泛函的最优分解长度被限制在n（希尔伯特空间的维数）以内。
• 函数f^inf是f^sup的凸包，二者均为屋顶函数，且在其各自的凸包Ω^inf_ω与Ω^sup_ω上为仿射函数。
• 当f^sup(ω) = f^inf(ω)时，状态ω位于状态空间的一个面中，且在该面上熵为仿射函数。
• 等式f^sup(ω) = f^inf(ω)意味着ω的所有极小分解对凸屋顶与凹屋顶泛函均为最优。
• 该形式化方法为纠缠形成提供了严格的理论基础，特别是在两量子比特情况下，其结果与Wootters的已知结论一致。