[论文解读] Entropy density of spacetime and thermodynamic interpretation of field equations of gravity in any diffeomorphism invariant theory

Τ. Padmanabhan|ArXiv.org|Mar 6, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用 25

一句话总结

本文提出，任何微分同胚不变引力理论的场方程均可通过将诺特定张量识别为局部熵密度，并在任意时空事件附近使用伦德勒参考系，表达为局部热力学恒等式 $TdS = dE$。关键结果是，这种热力学解释对这类理论具有普遍性，熵由诺特荷导出，且该框架可推广至兰索斯-洛埃洛克模型，其中广义熵密度与 $\mathcal{L} \propto P^{abcd}\nabla_c n_a \nabla_d n_b$ 成正比。该框架为所有微分同胚不变引力理论提供了统一的热力学解释。

ABSTRACT

I argue that the field equations of any theory of gravity which is diffeomorphism invariant must be expressible as a thermodynamic identity, TdS=dE around any event in the spacetime. This fact can be demonstrated explicitly (and rather easily) if: (a) one accepts the Noether current of the theory as providing the definition for local entropy density and (b) one is allowed to introduce the local notions of a Rindler frame, acceleration horizon and a Killing vector (related to translation in Rindler time) around any event. It is conceptually incorrect - in general - to invert this argument and obtain the field equations of the theory from the thermodynamic identity. I discuss under what conditions this may be possible. Several subtleties related to these arguments are described.

研究动机与目标

• 建立任何微分同胚不变引力理论的场方程可在任意时空事件周围表示为局部热力学恒等式 $TdS = dE$。
• 证明由诺特电流导出的瓦尔德熵可作为该热力学解释的正确局部熵密度。
• 论证该热力学恒等式是微分同胚不变性与视界存在的结果，而非场方程的推导。
• 阐明局部伦德勒视界与局部卡林格向量在定义弯曲时空中局部热力学中的概念地位。
• 通过定义与 $\mathcal{L} \propto P^{abcd}\nabla_c n_a \nabla_d n_b$ 成正比的广义熵密度，将热力学框架推广至兰索斯-洛埃洛克理论。

提出的方法

• 利用与微分同胚不变性相关的诺特电流 $J^a$，通过 $S_{\text{Wald}} = \beta \int d^{D-2}\Sigma_{ab} J^{ab}$ 定义局部熵密度，其中 $\beta = 2\pi / \kappa$，$\kappa$ 为表面引力。
• 通过加速度 $\kappa$ 在任意时空事件附近引入局部伦德勒参考系，该参考系诱导出局部视界，并允许定义局部温度 $T = \kappa / 2\pi$。
• 在局部伦德勒参考系中应用热力学恒等式 $TdS = dE$，其中 $dE$ 为穿过视界的能量通量，$dS$ 为瓦尔德熵的变化。
• 通过作用量原理 $\mathcal{A} \propto \int d^Dx \sqrt{-g} [2E_{ab} - T_{ab}] n^a n^b$ 推导场方程，对所有零向量 $n_a$ 变分，得到运动方程。
• 通过定义与 $\mathcal{L} \propto P^{abcd} \nabla_c n_a \nabla_d n_b$ 成正比的引力熵密度，将理论推广至兰索斯-洛埃洛克理论，其中 $P^{abcd} = \partial L / \partial R_{abcd}$。
• 证明基于诺特的熵密度 $\xi_a J^a$ 在视界上与广义熵密度 $\mathcal{L}$ 仅相差一个全微分，从而在爱因斯坦与兰索斯-洛埃洛克理论中保持一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何微分同胚不变引力理论的场方程是否都可在任意时空事件周围表示为局部热力学恒等式 $TdS = dE$？
• RQ2 由诺特电流导出的瓦尔德熵是否是该热力学解释的正确局部熵密度？
• RQ3 在何种条件下场方程可由热力学恒等式导出，而非反之？
• RQ4 局部伦德勒视界构造如何与弯曲时空中的全局视界结构相关联，其局限性是什么？
• RQ5 兰索斯-洛埃洛克理论中的广义熵密度能否独立地作为物理熵流得到物理解释，其与诺特电流的关系如何？

主要发现

• 任何微分同胚不变引力理论的场方程在使用通过诺特电流定义的瓦尔德熵作为局部熵密度时，可表示为局部热力学恒等式 $TdS = dE$。
• 通过加速度 $\kappa$ 加速的局部伦德勒观察者会经历一个视界，此时热力学恒等式 $TdS = dE$ 成立，其中 $T = \kappa / 2\pi$，$dS = dS_{\text{Wald}}$，证实了热力学解释的普遍性。
• 瓦尔德熵 $S_{\text{Wald}} = \beta \int d^{D-2}\Sigma_{ab} J^{ab}$ 是在任何微分同胚不变理论中，对满足 $TdS = dE$ 的解唯一满足该恒等式的熵泛函。
• 在兰索斯-洛埃洛克理论中，引力熵密度可定义为 $\mathcal{L} \propto P^{abcd} \nabla_c n_a \nabla_d n_b$，且该表达式在视界上与基于诺特的熵密度 $\xi_a J^a$ 仅相差一个全微分。
• 作用量 $\mathcal{A} \propto \int d^Dx \sqrt{-g} [2E_{ab} - T_{ab}] n^a n^b$ 在对所有零向量 $n_a$ 变分后，可导出场方程，从而从热力学原理出发提供了方程的变分推导。
• 局部伦德勒构造是近似的，在 ${\cal O}(X^2/L^2)$ 阶次失效，表明视界与局部热力学仅为有效概念，仅在特定曲率与加速度范围内有效。