[论文解读] Entropy estimates for a class of schemes for the euler equations

Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文为求解欧拉方程的一类有限体积格式建立了离散熵估计，采用基于内能的离散化方法并结合基于速度的迎风格式。证明了在 $L^∞$ 和 BV 范数有界条件下，熵不等式成立，其余项随空间和时间步长趋于零而消失，从而确保收敛至满足熵条件的弱解。

ABSTRACT

In this paper, we derive entropy estimates for a class of schemes for the Euler equations which present the following features: they are based on the internal energy equation (eventually with a positive corrective term at the righ-hand-side so as to ensure consistency) and the possible upwinding is performed with respect to the material velocity only. The implicit-in-time first-order upwind scheme satisfies a local entropy inequality. A generalization of the convection term is then introduced, which allows to limit the scheme diffusion while ensuring a weaker property: the entropy inequality is satisfied up to a remainder term which is shown to tend to zero with the space and time steps, if the discrete solution is controlled in L $\infty$ and BV norms. The explicit upwind variant also satisfies such a weaker property, at the price of an estimate for the velocity which could be derived from the introduction of a new stabilization term in the momentum balance. Still for the explicit scheme, with the above-mentioned generalization of the convection operator, the same result only holds if the ratio of the time to the space step tends to zero.

研究动机与目标

• 推导一类求解可压缩欧拉方程的全离散有限体积格式的离散熵不等式。
• 分析基于内能方程并引入校正项以保证一致性的格式的一致性与稳定性。
• 建立离散熵不等式成立的条件，其余项在网格与时间步长趋于零时消失。
• 将熵稳定性分析扩展至隐式与显式格式，尤其在多维情形下。
• 研究动量方程中稳定化项的作用，以控制速度范数并确保收敛至满足熵条件的极限。

提出的方法

• 采用内能方程并引入正校正项以保持一致性，构建欧拉系统。
• 仅在对流项中针对物质速度应用迎风，避免对所有变量进行完整迎风。
• 引入广义对流算子，以减少数值耗散，同时保持与熵相关的性质。
• 推导含余项的离散熵不等式，余项依赖于离散解的 $L^∞$ 与 BV 范数。
• 采用时间隐式或显式格式，通过 CFL 条件与有界性假设确保稳定性。
• 在动量方程中引入稳定化项（如 $h_{\mathcal{M}}^\alpha \Delta_q u_i$），以控制速度范数并确保余项衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 全离散有限体积格式在何种条件下可满足离散熵不等式，余项趋于零？
• RQ2 当空间与时间步长趋于零时，熵不等式中的余项如何演化？
• RQ3 $L^q(0,T;W^{1,q}_{\mathcal{M}})$ 中的速度范数在确保余项消失中起何作用？
• RQ4 是否可设计动量方程中的稳定化项，使余项消失而不引起解的过度扩散？
• RQ5 所提出的格式如何推广至工业 CFD 软件（如 CALIF3S）中使用的其他通量分裂格式？

主要发现

• 隐式一阶迎风格式在无余项条件下满足局部离散熵不等式。
• 对于广义对流格式，若离散解在 $L^\infty$ 与 BV 范数下有界，则熵不等式成立，其余项随 $h_{\mathcal{M}} \to 0$ 与 $\delta t \to 0$ 而趋于零。
• 对于显式格式，若比值 $\delta t / \underline{h}_{\mathcal{M}} \to 0$，或 $L^q(0,T;W^{1,q}_{\mathcal{M}})$ 中的速度范数保持受控，则余项消失。
• 动量方程中形式为 $h_{\mathcal{M}}^\alpha \Delta_q u_i$ 的稳定化项可控制速度范数，且需满足 $\alpha < q-1$ 以确保余项衰减。
• 显式格式的余项估计为 $C C_{\mathcal{M}} M^{(2p-1)/p} |\varphi''|_\infty \|\rho\|_{\mathcal{T},t,BV}^{1/p} \|\mathbf{u}\|_{L^q(0,T;W^{1,q}_{\mathcal{M}})} \delta t^{1/p}$，其中 $1/p + 1/q = 1$。
• 分析表明，在 $L^\infty$ 与 BV 稳定性条件下，若余项消失，则可保证收敛至弱熵解，而余项消失可通过适当的稳定化或网格-时间比控制实现。