[论文解读] Entropy-expansiveness for partially hyperbolic diffeomorphisms

Todd Fisher, Lorenzo J. Díaz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 13

一句话总结

该论文证明了在紧致不变集上具有分裂为一维中心丛的偏双曲微分同胚（即 $E^s \oplus E_1 \oplus \cdots \oplus E_k \oplus E^u$）是熵扩张的。证明依赖于稳定与不稳定流形上的受控动力学，以及在分裂条件下不存在持续的同宿纵横，从而得出此类系统具有主符号扩张和平衡态的结论。

ABSTRACT

We show that diffeomorphisms with a dominated splitting of the form $E^s\oplus E^c\oplus E^u$, where $E^c$ is a nonhyperbolic central bundle that splits in a dominated way into 1-dimensional subbundles, are entropy-expansive. In particular, they have a principal symbolic extension and equilibrium states.

研究动机与目标

• 建立具有受控分裂为一维中心子丛的偏双曲微分同胚的熵扩张性。
• 将已知的熵扩张性结果从一致双曲和曲面系统推广到在受控分裂下更高维的中心方向。
• 为非一致双曲设定下主符号扩张和平衡态的存在性提供充分条件。
• 阐明受控分裂和同宿纵横消失在确保熵扩张性中的作用。
• 通过识别保证熵扩张性的结构条件，解决 $C^2$ 微分同胚存在符号扩张的猜想。

提出的方法

• 通过映射迭代下小球预像交集的概念来利用熵扩张性的定义。
• 应用受控分裂概念，以控制稳定、中心和不稳定丛之间的相对扩张与压缩速率。
• 沿中间稳定与不稳定流形递归构造点，以追踪距离并检测非平凡交点。
• 利用一维中心丛结构保证不存在持续的同宿纵横，从而防止熵非扩张性。
• 应用涉及局部积结构和微分同胚在不变集上动力学的受控畸变的几何论证。
• 利用 [DN] 和 [BFF] 关于符号扩张和平衡态的结果，从主定理推导出推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在受控分裂的何种条件下，偏双曲微分同胚是熵扩张的？
• RQ2 当中心丛分裂为一维子丛时，即使整个中心丛是高维的，是否也能保证熵扩张性？
• RQ3 此类系统中若不存在持续的同宿纵横，是否意味着熵扩张性？
• RQ4 受控分裂结构在多大程度上能防止通过扰动产生非扩张行为？
• RQ5 熵扩张性在非一致双曲系统中能否用于保证主符号扩张和平衡态的存在？

主要发现

• 当 $\Lambda$ 具有受控分裂 $E^s \oplus E_1 \oplus \cdots \oplus E_k \oplus E^u$ 且所有 $E_i$ 为一维时，微分同胚 $f|_{\Lambda}$ 是熵扩张的。
• 即使 $E^s$ 或 $E^u$ 为平凡，该结果依然成立，意味着系统可能是偏双曲的，但不具有强稳定或不稳定方向。
• 由于一维中心结构阻止了持续同宿纵横的存在，从而确保了熵扩张性。
• 作为推论，$f|_{\Lambda}$ 具有主符号扩张，保持熵结构不变。
• 对于任意连续势函数 $\varphi$，系统 $f|_{\Lambda}$ 至少存在一个平衡态。
• 该结果是精确的：在 $C^1$ 通用情形下，具有非双曲、不可约中心丛（维度 $\geq 2$）的微分同胚不是熵扩张的，表明一维中心丛条件是必要的。