[论文解读] Entropy in Quantum Information Theory -- Communication and Cryptography

Christian Majenz|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 62被引用 5

一句话总结

本论文通过引入催化式去耦合（catalytic decoupling）统一了单次量子信源编码的结果，证明了一个受限的非冯诺依曼不等式，建立了基于端口的量子隐形传态资源的紧下界（表明当误差趋近于零时，端口数量 $N$ 随系统维度均匀发散），并提出了一种新的信息理论意义上的量子非易失性定义，该定义蕴含保密性，并可通过2-设计实现认证加密。

ABSTRACT

In this Thesis, several results in quantum information theory are collected, most of which use entropy as the main mathematical tool. *While a direct generalization of the Shannon entropy to density matrices, the von Neumann entropy behaves differently. A long-standing open question is, whether there are quantum analogues of unconstrained non-Shannon type inequalities. Here, a new constrained non-von-Neumann type inequality is proven, a step towards a conjectured unconstrained inequality by Linden and Winter. *IID quantum state merging can be optimally achieved using the decoupling technique. The one-shot results by Berta et al. and Anshu at al., however, had to bring in additional mathematical machinery. We introduce a natural generalized decoupling paradigm, catalytic decoupling, that can reproduce the aforementioned results when used analogously to the application of standard decoupling in the asymptotic case. *Port based teleportation, a variant of standard quantum teleportation protocol, cannot be implemented perfectly. We prove several lower bounds on the necessary number of output ports N to achieve port based teleportation for given error and input dimension, showing that N diverges uniformly in the dimension of the teleported quantum system, for vanishing error. As a byproduct, a new lower bound for the size of the program register for an approximate universal programmable quantum processor is derived. *In the last part, we give a new definition for information-theoretic quantum non-malleability, strengthening the previous definition by Ambainis et al. We show that quantum non-malleability implies secrecy, analogous to quantum authentication. Furthermore, non-malleable encryption schemes can be used as a primitive to build authenticating encryption schemes. We also show that the strong notion of authentication recently proposed by Garg et al. can be fulfilled using 2-designs.

研究动机与目标

• 通过证明一个受限的非冯诺依曼型不等式，填补量子信息理论中非香农型不等式的空白。
• 通过一种新颖的去耦合框架，统一并推广单次量子信源编码的结果。
• 在趋于零误差的极限下，建立基于端口的量子隐形传态所需端口数量的紧下界。
• 强化量子非易失性的定义，并展示其在量子认证与加密中的影响。
• 证明2-设计可实现Garg等人近期提出的强认证标准。

提出的方法

• 引入催化式去耦合作为广义的去耦合范式，在渐近极限下通过类似标准去耦合的结构，恢复已知的单次结果。
• 证明了一个新的受限非冯诺依曼型不等式，推进了Linden与Winter所猜想的无约束量子不等式的研究。
• 应用信息理论技术，包括最小熵与最大熵，推导基于端口的量子隐形传态中输出端口数量的下界。
• 利用量子通道与量子态之间的对偶性，结合2-设计的性质，构建并分析非易失性加密方案。
• 采用量子互信息与最大互信息的框架，分析相干态合并及相关协议。
• 利用量子香农理论中的结果，包括去耦合定理与量子通道结构，推导资源需求的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在受限设定下证明一个非冯诺依曼型不等式，从而为无约束量子不等式提供一步推进？
• RQ2 催化式去耦合能否重现此前使用独立数学工具推导出的相干态合并最优单次结果？
• RQ3 当误差趋近于零时，基于端口的量子隐形传态中输出端口数量 $N$ 如何随被传输系统的维度变化？
• RQ4 能否提出一个更强的量子非易失性定义，使其蕴含保密性并支持认证加密的实现？
• RQ5 2-设计能否用于实现Garg等人近期提出的强认证标准？

主要发现

• 证明了一个新的受限非冯诺依曼型不等式，为解决长期悬而未决的无约束量子非香农不等式问题提供了重要进展。
• 催化式去耦合成功重现了相干态合并的最优单次结果，为这类分析提供了统一且自然的框架。
• 当误差趋近于零时，基于端口的量子隐形传态中输出端口数量 $N$ 随被传输系统维度均匀发散，证明了根本性的资源成本障碍。
• 提出了一种新的信息理论意义上的量子非易失性定义，该定义蕴含保密性，并可支持认证加密方案的构建。
• 证明了2-设计足以实现Garg等人引入的强认证标准，提供了实用且高效的构造方法。
• 作为基于端口的隐形传态分析的副产品，推导出了近似通用可编程量子处理器中程序寄存器大小的新下界。