[论文解读] Entropy numbers and Marcinkiewicz-type discretization theorem

Feng Dai, Andriy Prymak+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 19被引用 18

一句话总结

本文在一致范数下建立了有限维函数子空间的熵数上界，并利用这些上界证明了 $L_p$ 范数的 Marcinkiewicz 型离散化定理。关键贡献在于一种具有权重的构造性离散化结果，表明 $O(N \log N)$ 个采样点足以在仅依赖于相对采样密度的常数下，统一近似 $N$-维子空间上的 $L_2$ 范数。

ABSTRACT

This paper studies the behavior of the entropy numbers of classes of functions with bounded integral norms from a given finite dimensional linear subspace. Upper bounds of these entropy numbers in the uniform norm are obtained and applied to establish a Marcinkiewicz type discretization theorem for integral norms of functions from a given finite dimensional subspace.

研究动机与目标

• 分析有限维子空间内有界 $L_p$ 范数函数类的熵数。
• 在一致范数下推导这些熵数的上界。
• 将熵数上界应用于建立有限维子空间上 $L_p$ 范数的 Marcinkiewicz 型离散化定理。
• 构造一个样本大小 $m = O(N \log N)$ 的加权采样离散化方案。
• 通过泛函分析技术将离散化结果推广至 $1 \leq p < 2$ 的 $L_p$ 范数。

提出的方法

• 使用覆盖数和熵数来量化 $L_\infty$ 中函数类的度量熵。
• 应用柯西-施瓦茨不等式，并通过变换 $Uf(x) = f(x)/F(x)$ 保持 $L_2$-范数，其中 $F(x) = \left(\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \varphi_j(x)^2\right)^{1/2}$。
• 将离散化问题约化为 $L_2(\Omega_0, d\nu)$ 的子空间，其中 $d\nu = F^2 d\mu$，从而可应用已知的子空间离散化结果。
• 应用定理 1.2（来自先前工作）得到一个大小为 $O(N \log N)$ 的有限集 $\Lambda \subset \Omega_0$，使得 $L_2$-范数被保持在 $3/2$ 倍因子内。
• 利用引理 5.1 构造一个包含 $m \leq bN$ 个点和权重 $\lambda_j$ 的加权采样离散化，确保 $\|f\|_2^2 \leq \sum \lambda_j |f(x^j)|^2 \leq C(b-1)^{-2} \|f\|_2^2$。
• 通过 Banach–Mazur 距离和 $L(X_N, q, \varepsilon)$-型估计，将结果推广至 $1 \leq p < 2$，将离散化与 $\ell_q^m$ 中的度量熵联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一致范数下，$N$-维子空间中 $L_p$-有界函数的熵数的上界是什么？
• RQ2 这些熵数上界能否用于构造 $L_p$ 范数的采样离散化方案并控制误差？
• RQ3 在 $N$-维子空间上，为实现 $L_2$ 范数的均匀近似，最少需要多少个采样点？
• RQ4 离散化质量如何依赖于相对采样密度 $b = m/N$？
• RQ5 能否通过泛函分析工具将 $L_2$ 离散化结果推广至 $1 \leq p < 2$ 的 $L_p$ 范数？

主要发现

• 熵数 $\varepsilon_k(X_N^p, L_\infty)$ 的上界以 $N$ 和 $p$ 表示，从而可对有限维子空间中函数类的度量熵进行估计。
• 对于任意 $N$-维子空间 $X_N \subset L_\infty(\Omega)$，存在一个包含 $m = O(N \log N)$ 个点 $\{x^j\}$ 的集合和非负权重 $\lambda_j$，使得对所有 $f \in X_N$，有 $\|f\|_2^2 \leq \sum_{j=1}^m \lambda_j |f(x^j)|^2 \leq C(b-1)^{-2} \|f\|_2^2$，其中 $b = m/N \in (1,2]$。
• 上界中的常数 $C$ 是绝对常数，且对 $b$ 的依赖关系是精确的：当 $b \to 1^+$ 时，常数以 $(b-1)^{-2}$ 的方式发散。
• 该结果意味着 $X_N \in \mathcal{M}(m,2,\varepsilon)$，且 $\varepsilon \sim (b-1)^{-2}/m$，表明 $m = O(N \log N)$ 个点足以实现 $\varepsilon$-接近的离散化。
• 对于 $1 \leq p < 2$，该方法通过 Banach–Mazur 距离估计得以推广，表明 $L(X_N, q, \varepsilon)$ 的界意味着在适当条件下，$m = O(N \log N)$ 个点可实现离散化。
• 该构造是有效的，依赖于泛函分析中的概率与几何技术，包括 $F(x)$-加权测度和子空间嵌入的使用。