[论文解读] Entropy of meromorphic maps and dynamics of birational maps

Henry de Thélin, Gabriel Vigny|ArXiv.org|Jun 26, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用 9

一句话总结

该论文为紧致凯勒流形上亚纯映射的极大熵测度构造建立了一个判据，将其应用于 $\mathbb{P}^k$ 上的通用有理映射。通过超势能与全纯势论，作者构造了格林电流与平衡测度，证明该测度是混合的，不赋予极小集正测度，且为双曲的，从而确认其为极大熵测度并展现出混沌动力学行为。

ABSTRACT

We study the dynamics of meromorphic maps for a compact Kaehler manifold X. More precisely, we give a simple criterion that allows us to produce a measure of maximal entropy. We can apply this result to bound the Lyapunov exponents. Then, we study the particular case of a family of generic birational maps of P^k for which we construct the Green currents and the equilibrium measure. We use for that the theory of super-potentials. We show that the measure is mixing and gives no mass to pluripolar sets. Using the criterion we get that the measure is of maximal entropy. It implies finally that the measure is hyperbolic.

研究动机与目标

• 为紧致凯勒流形上亚纯映射动力系统中的极大熵测度建立一个通用判据。
• 将平衡测度的构造从自同态推广至 $\mathbb{P}^k$ 上具有非平凡不定点集的有理映射。
• 证明所构造的平衡测度是混合的且为双曲的，从而确认其作为极大熵测度的角色。
• 解决高余维不定点集与非一致双曲性在复动力系统中带来的挑战。

提出的方法

• 应用 Yomdin 的熵界定理，对不变测度的熵建立上界与下界估计。
• 利用超势能处理奇异电流，并在存在不定点集的情况下定义电流的楔积。
• 通过迭代映射的拉回极限构造双次数为 $(1,1)$ 的格林电流及高阶电流。
• 采用 Hartogs 收敛性与拟正则化技术，确保超势能在极限下的稳定性与收敛性。
• 将平衡测度定义为格林电流的 Monge-Ampère 积，以保证其正性与不变性。
• 利用极大熵判据推导出双曲性，意味着非零李雅普诺夫指数及几乎处处存在稳定/不稳定流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为紧致凯勒流形上亚纯映射的极大熵测度构造一个通用判据？
• RQ2 当动力度量在最高次数处非最大时，如何为 $\mathbb{P}^k$ 上的有理映射构造格林电流与平衡测度？
• RQ3 通过超势能构造的平衡测度是否不赋予极小集正测度，并表现出混合行为？
• RQ4 该平衡测度是否为双曲的？这是否意味着其为映射的极大熵测度？
• RQ5 在构造不变测度时，如何处理余维数 ≥2 的不定点集的存在？

主要发现

• 作者建立了一个确保测度为极大熵的判据，并将其应用于 $\mathbb{P}^k$ 上的有理映射。
• 平衡测度通过超势能构造为格林电流的 Monge-Ampère 积，即使在存在奇点的情况下也能保证其定义良好。
• 证明了平衡测度是混合的，表明其具有强统计性质与混沌行为。
• 该测度不赋予极小集正测度，确认其支集位于非极小集区域。
• 证明该测度为双曲的，即具有非零李雅普诺夫指数，并几乎处处存在稳定与不稳定流形。
• 该构造确认了该测度为极大熵测度，解决了该类映射中熵极大性这一核心问题。