[论文解读] Entropy on abelian groups

Dikran Dikranjan, Anna Giordano Bruno|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 16

一句话总结

本文提出了任意阿贝尔群自同态的代数熵的新定义，将彼得斯的原始概念推广至非可逆映射。核心贡献是加法定理，证明代数熵在不变子群上具有可加性，由此导出唯一性定理，并与数论中的马勒测度及莱默问题建立深刻联系。

ABSTRACT

We introduce the algebraic entropy for endomorphisms of arbitrary abelian groups, appropriately modifying existing notions of entropy. The basic properties of the algebraic entropy are given, as well as various examples. The main result of this paper is the Addition Theorem showing that the algebraic entropy is additive in appropriate sense with respect to invariant subgroups. We give several applications of the Addition Theorem, among them the Uniqueness Theorem for the algebraic entropy in the category of all abelian groups and their endomorphisms. Furthermore, we point out the delicate connection of the algebraic entropy with the Mahler measure and Lehmer Problem in Number Theory.

研究动机与目标

• 将代数熵的概念从阿贝尔群的自同构扩展至任意阿贝尔群的自同态，而不仅限于自同构或挠群。
• 建立加法定理，证明代数熵在不变子群上具有可加性。
• 证明唯一性定理，表明所定义的熵是满足某些自然公理（如单调性、共轭不变性及在不变子群上的可加性）的唯一函数。
• 阐明代数熵与数论不变量（特别是马勒测度和莱默问题）之间的联系。
• 研究代数熵在何种条件下可由某个有限子集实现，尤其关注挠群与有限秩无挠阿贝尔群的情形。

提出的方法

• 将阿贝尔群 $ G $ 的自同态 $ \phi $ 的代数熵 $ h(\phi) $ 定义为所有非空有限子集 $ F \subset G $ 的极限 $ \lim_{n\to\infty} \frac{\log|T_n(\phi,F)|}{n} $ 的上确界，其中 $ T_n(\phi,F) = F + \phi(F) + \cdots + \phi^{n-1}(F) $。
• 证明对每个有限子集 $ F $，极限 $ H(\phi,F) = \lim_{n\to\infty} \frac{\log|T_n(\phi,F)|}{n} $ 存在，从而确保熵的定义是良定的。
• 建立加法定理：对任意 $ \phi $-不变子群 $ H \leq G $，有 $ h(\phi) = h(\phi|_H) + h(\overline{\phi}) $，其中 $ \overline{\phi} $ 是 $ G/H $ 上的诱导自同态。
• 利用加法定理证明唯一性定理，表明该熵函数在阿贝尔群范畴中由其公理唯一确定。
• 将理论应用于证明：在挠群或有限秩无挠阿贝尔群中，熵可由某个有限子集实现。
• 通过有限集合轨迹的增长，将熵与马勒测度联系起来，尤其在莱默问题的背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数熵的概念能否一致地从阿贝尔群自同构推广至任意阿贝尔群的一般自同态？
• RQ2 代数熵是否满足加法定理，即能否分解为在不变子群与商群上熵的和？
• RQ3 所定义的代数熵是否是唯一满足自然公理（如单调性、共轭不变性及在不变子群上的可加性）的函数？
• RQ4 代数熵与马勒测度之间存在何种关系，尤其在莱默问题的背景下？
• RQ5 在何种条件下，代数熵可由某个有限子集实现？

主要发现

• 加法定理成立：对任意 $ \phi $-不变子群 $ H \leq G $，有 $ h(\phi) = h(\phi|_H) + h(\overline{\phi}) $，其中 $ \overline{\phi} $ 是 $ G/H $ 上的自同态。
• 唯一性定理已确立：所定义的熵是阿贝尔群自同态上唯一满足标准公理（包括加法定理）的函数。
• 在挠阿贝尔群中，新定义的熵 $ h $ 与经典熵 $ \operatorname{ent} $ 一致，且存在某个有限子群 $ F $ 使得 $ h(\phi) = H(\phi,F) $。
• 在有限秩无挠阿贝尔群中，熵同样可实现：存在某个有限子集 $ F $，使得 $ h(\phi) = H(\phi,F) $。
• 代数熵与马勒测度存在联系，且莱默问题在最小正熵值的背景下自然浮现。
• 存在某些自同态使得 $ h(\phi) $ 有限但无法由任何有限子集实现，表明实现并非总是成立。