[论文解读] Entropy-stable hybridized discontinuous Galerkin methods for the compressible Euler and Navier-Stokes equations

Pablo Fernández, Ngoc Cuong Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 50被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于熵变量的熵稳定混合间断伽辽金（HDG）方法，用于可压缩欧拉方程和纳维-斯托克斯方程。通过在熵变量中构造格式并选择合适的数值通量，该方法在积分意义下确保了熵稳定性，并满足热力学第二定律，显著提升了鲁棒性和稳定性，尤其是在欠分辨率和激波捕捉流动中，同时保持了最优精度阶数。

ABSTRACT

In the spirit of making high-order discontinuous Galerkin (DG) methods more competitive, researchers have developed the hybridized DG methods, a class of discontinuous Galerkin methods that generalizes the Hybridizable DG (HDG), the Embedded DG (EDG) and the Interior Embedded DG (IEDG) methods. These methods are amenable to hybridization (static condensation) and thus to more computationally efficient implementations. Like other high-order DG methods, however, they may suffer from numerical stability issues in under-resolved fluid flow simulations. In this spirit, we introduce the hybridized DG methods for the compressible Euler and Navier-Stokes equations in entropy variables. Under a suitable choice of the stabilization matrix, the scheme can be shown to be entropy stable and satisfy the Second Law of Thermodynamics in an integral sense. The performance and robustness of the proposed family of schemes are illustrated through a series of steady and unsteady flow problems in subsonic, transonic, and supersonic regimes. The hybridized DG methods in entropy variables show the optimal accuracy order given by the polynomial approximation space, and are significantly superior to their counterparts in conservation variables in terms of stability and robustness, particularly for under-resolved and shock flows.

研究动机与目标

• 解决高阶间断伽辽金（DG）方法在欠分辨率和激波捕捉流动中的数值不稳定性问题。
• 开发一种混合DG框架，通过静态消去法实现计算效率，同时保证熵稳定性。
• 确保数值格式在积分意义下满足热力学第二定律。
• 提升亚音速、跨音速和超音速流动模拟中的鲁棒性和精度。
• 展示基于熵变量的格式相较于守恒变量格式在稳定性与收敛性方面的优越性。

提出的方法

• 将可压缩欧拉方程和纳维-斯托克斯方程以熵变量形式表述，以支持熵稳定性分析。
• 采用混合DG离散化，该方法广义化了HDG、EDG和IEDG方法，通过静态消去实现计算效率。
• 构造一种数值通量，通过满足特定的熵守恒恒等式来确保熵稳定性。
• 推导出离散熵演化方程，以保证计算域内总熵不减小。
• 采用带有混合未知量（单元内解和数值迹）的变分形式，以减少自由度数量。
• 对黏性项采用基于投影的稳定化方法，并通过数值通量确保边界条件的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于熵变量为可压缩欧拉方程和纳维-斯托克斯方程构造出熵稳定的混合DG方法？
• RQ2 所提出的格式在保证熵稳定性的同时，是否仍保持最优精度阶数？
• RQ3 在欠分辨率和激波捕捉流动中，基于熵变量的格式与守恒变量格式相比，在鲁棒性方面有何差异？
• RQ4 该格式能否在离散的积分意义下保持热力学第二定律？
• RQ5 该方法在跨音速和超音速等复杂流动状态下表现如何？

主要发现

• 基于熵变量的混合DG方法实现了与多项式近似空间相匹配的最优精度阶数。
• 由于数值通量的合理选择，该格式具有熵稳定性，并在积分意义下满足热力学第二定律。
• 与守恒变量格式相比，该方法在欠分辨率和激波捕捉区域表现出更优的稳定性和鲁棒性。
• 稳态与非稳态流动的数值结果在亚音速、跨音速和超音速流动范围内均验证了该方法的有效性与准确性。
• 使用熵变量可实现更好的收敛行为，并在间断附近减少振荡，相较于守恒变量更具优势。
• 即使在高度欠分辨率的模拟中，该方法仍保持稳定，表明其在大涡模拟应用中具有更高的鲁棒性。