[论文解读] Entropy via multiplicity

Boris Kruglikov, Martin Rypdal|ArXiv.org|May 2, 2005

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文通过角度扩张和多重性增长，建立了分段仿射映射的拓扑熵上界，表明熵主要源于扩张和奇点多重性。证明了非扩张共形分段仿射映射的拓扑熵为零，并提供了由于多重性导致异常熵增长的反例，从而在李雅普诺夫指数之外进一步细化了熵估计。

ABSTRACT

The topological entropy of piecewise affine maps is studied. It is shown that singularities may contribute to the entropy only if there is angular expansion and we bound the entropy via the expansion rates of the map. As a corollary we deduce that non-expanding conformal piecewise affine maps have zero topological entropy. We estimate the entropy of piecewise affine skew-products. Examples of abnormal entropy growth are provided.

研究动机与目标

• 理解奇点和多重性增长如何影响分段仿射映射中的拓扑熵。
• 将光滑动力系统中的熵界推广到具有奇点的分段仿射系统。
• 刻画拓扑熵为零的条件，特别是针对非扩张和共形映射的情形。
• 分析斜积系统，并确定其熵超过各分量熵之和的条件。
• 通过用扩张和多重性项替代李雅普诺夫指数之和，进一步细化熵估计。

提出的方法

• 通过使用拉回度量 $ d_n^f $ 的覆盖数增长速率定义拓扑熵，确保其在度量选择下不变。
• 将多重性熵 $ H_{\text{mult}}(f) $ 定义为包含单个点的分划元素最大数量的指数增长速率。
• 利用导数 $ d_xf^n $ 的最大李雅普诺夫型范数定义扩张率 $ \lambda^+(f) $，以量化角度扩张。
• 建立不等式 $ h_{\text{top}}(f) \leq \lambda^+(f) + H_{\text{mult}}(f) $，表明熵受扩张和多重性之和的限制。
• 通过将熵分解为基动力系统和纤维动力系统的贡献，分析斜积映射，包括来自奇点多重性的乘法校正项。
• 构造显式例子——如压缩映射和可数分段等距映射——表明即使李雅普诺夫指数为零或因子熵有限，仍可具有正熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续性分划的多重性增长如何影响分段仿射映射的拓扑熵？
• RQ2 即使没有正李雅普诺夫指数，是否也能仅通过扩张率和多重性增长来界定拓扑熵？
• RQ3 在何种条件下，分段仿射映射的拓扑熵为零，特别是共形和非扩张情形？
• RQ4 斜积系统的熵是否可能超过其各组成部分熵之和？若是，其背后的机制是什么？
• RQ5 Ruelle-Margulis 不等式在具有奇点的分段仿射映射中能在多大程度上被推广？

主要发现

• 任何分段仿射映射的拓扑熵均受其扩张率 $ \lambda^+(f) $ 与多重性熵 $ H_{\text{mult}}(f) $ 之和的限制，即 $ h_{\text{top}}(f) \leq \lambda^+(f) + H_{\text{mult}}(f) $。
• 非扩张共形分段仿射映射的拓扑熵为零，因为其多重性熵消失且扩张率非正。
• 斜积系统可能因奇点多重性的乘法增长而表现出超过其因子熵之和的熵，如例2所示。
• 严格压缩的分段仿射映射若其多重性呈指数增长，则可具有正拓扑熵，如例1所示。
• 对于具有可数个区域的分段等距映射，拓扑熵可能为正甚至无穷，具体取决于区域大小的衰减速率，这与有限区域结果相矛盾。
• 即使所有李雅普诺夫指数为零，多重性熵 $ H_{\text{mult}}(f) $ 仍可为正，如例3所示，此时由于点A处的多重性，$ h_{\text{top}}(f) = \log 2 $。