[论文解读] Enumerating (2+2)-free posets by indistinguishable elements

Mark Dukes, Sergey Kitaev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 21

一句话总结

本文引入统计量 maxindist，用于衡量 (2+2)-free 偏序集中不可区分元素集合的最大大小，并建立了此类偏序集与上升序列之间的双射，其中不可区分元素对应于序列中连续相等的项（即连续段）。主要贡献是得到了一个关于 (2+2)-free 偏序集的生成函数，该函数同时精细刻画了 maxindist 和不同严格下集的数量，从而证实了 Jovović 关于无全零行或列的上三角二元矩阵的猜想。

ABSTRACT

A poset is said to be (2+2)-free if it does not contain an induced subposet that is isomorphic to 2+2, the union of two disjoint 2-element chains. Two elements in a poset are indistinguishable if they have the same strict up-set and the same strict down-set. Being indistinguishable defines an equivalence relation on the elements of the poset. We introduce the statistic maxindist, the maximum size of a set of indistinguishable elements. We show that, under a bijection of Bousquet-Melou et al., indistinguishable elements correspond to letters that belong to the same run in the so-called ascent sequence corresponding to the poset. We derive the generating function for the number of (2+2)-free posets with respect to both maxindist and the number of different strict down-sets of elements in the poset. Moreover, we show that (2+2)-free posets P with maxindist(P) at most k are in bijection with upper triangular matrices of nonnegative integers not exceeding k, where each row and each column contains a nonzero entry. (Here we consider isomorphic posets to be equal.) In particular, (2+2)-free posets P on n elements with maxindist(P)=1 correspond to upper triangular binary matrices where each row and column contains a nonzero entry, and whose entries sum to n. We derive a generating function counting such matrices, which confirms a conjecture of Jovovic, and we refine the generating function to count upper triangular matrices consisting of nonnegative integers not exceeding k and having a nonzero entry in each row and column. That refined generating function also enumerates (2+2)-free posets according to maxindist. Finally, we link our enumerative results to certain restricted permutations and matrices.

研究动机与目标

• 定义并研究 (2+2)-free 偏序集中不可区分元素集合的最大大小这一统计量 maxindist。
• 建立 (2+2)-free 偏序集与上升序列之间的双射，表明不可区分元素对应于上升序列中连续相等项的连续段。
• 推导出精细刻画 (2+2)-free 偏序集的 maxindist 和不同严格下集数量的生成函数。
• 证明 maxindist ≤ k 的 (2+2)-free 偏序集与元素取值于 {0,1,...,k} 且无全零行或列的上三角矩阵之间存在双射。
• 证实 Jovović 关于无全零行或列的上三角二元矩阵的生成函数的猜想。

提出的方法

• 作者利用 Bousquet-Mélou 等人建立的 (2+2)-free 偏序集与上升序列之间的双射，将 maxindist 统计量转化为上升序列中连续段的性质。
• 定义统计量 epairs(a) 为上升序列 a 中连续相等对的数量，该值对应于关联偏序集中不可区分元素的数量。
• 通过构造具有长度至多为 k 的连续段的上升序列的精细结构，构建了生成函数，得到一个包含项 (1 - 1/(1+t)^i) 的乘积公式。
• 通过组合映射，建立了 maxindist ≤ k 的 (2+2)-free 偏序集与元素取值于 {0,1,...,k} 且无全零行或列的上三角矩阵之间的双射。
• 推导出此类矩阵的精细生成函数，通过与上升序列及偏序集的关联，证实了 Jovović 的猜想。
• 通过已知的双射将结果推广至匹配与排列，将 maxindist 与排列中的相邻下降以及匹配中的相似弧联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过新的统计量 maxindist 对 (2+2)-free 偏序集中的不可区分元素概念进行形式化并实现计数？
• RQ2 精细刻画 maxindist 和不同严格下集数量的 (2+2)-free 偏序集的生成函数是什么？
• RQ3 是否存在对 maxindist ≤ k 的 (2+2)-free 偏序集的组合解释，以某种结构化矩阵表示？
• RQ4 无全零行或列的上三角二元矩阵的生成函数是否与 Jovović 的猜想公式一致？
• RQ5 在已知双射下，上升序列、偏序集、排列与匹配上的统计量之间存在何种关系？

主要发现

• 对于 maxindist ≤ k 且包含 n 个元素的 (2+2)-free 偏序集，其数量的生成函数由包含项 (1 - 1/(1+t)^i) 的乘积公式给出，证实了精细计数结果。
• 在 n 个元素上，maxindist = 1 的 (2+2)-free 偏序集的数量等于无全零行或列且元素和为 n 的上三角二元矩阵的数量。
• 该类二元矩阵的生成函数（证实了 Jovović 的猜想）为 ∑_{n≥0} ∏_{i=1}^{n} (1 - 1/(1+t)^i)。
• (2+2)-free 偏序集中的统计量 maxindist 对应于关联上升序列中连续相等对的数量。
• maxindist ≤ k 的 (2+2)-free 偏序集的数量与元素为 ≤ k 的非负整数、且无全零行或列的上三角矩阵之间存在双射。
• 元素 ≤ k 且无全零行或列的矩阵的精细生成函数，与精细刻画 maxindist 的 (2+2)-free 偏序集的生成函数一致。