[论文解读] Enumerating permutations avoiding a pair of Babson-Steingrimsson patterns

Anders Claesson, Toufik Mansour|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文對 Babson 和 Steingrímsson 引入的 (1,2) 或 (2,1) 型廣義排列模式之任意組合進行了完整的枚舉。透過遞歸分解與二元樹、對合及 Motzkin 路徑等組合結構之間的雙射，作者推導出此類排列數量的精確公式，並顯示其計數由 Bell 數、Catalan 數、Motzkin 數、Bessel 數或其他已知數列決定，取決於所考慮的模式組。本研究將 Claesson 對單一模式的結果推廣至模式對，並根據計算證據對更大模式集合的行為提出猜想。

ABSTRACT

Babson and Steingrìmsson introduced generalized permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. Subsequently, Claesson presented a complete solution for the number of permutations avoiding any single pattern of type (1,2) or (2,1). For eight of these twelve patterns the answer is given by the Bell numbers. For the remaining four the answer is given by the Catalan numbers. In the present paper we give a complete solution for the number of permutations avoiding a pair of patterns of type (1,2) or (2,1). We also conjecture the number of permutations avoiding the patterns in any set of three or more such patterns.

研究动机与目标

• 將 Claesson 對 (1,2) 和 (2,1) 模式的單一模式避免分類推廣至此類模式的組合。
• 確定避免任意一對 (1,2) 或 (2,1) 型廣義排列模式之排列的精確數量。
• 識別出這些排列類別所對應的組合數列（例如 Catalan、Motzkin、Bell、Bessel）
• 基於計算證據，對包含三個或更多此類模式的集合提出枚舉數列的猜想。

提出的方法

• 根據最大元素的位置對排列進行遞歸分解，並利用廣義模式的結構。
• 在避免一對模式的排列類與已知組合對象（如二元樹、對合及 Motzkin 路徑）之間建立雙射。
• 應用生成函數與遞推關係來建模排列計數的增長，包括 $ a_n $ 和 $ b_n $ 等序列，其定義為 $ \sum a_n x^n = \frac{1}{1 - x - x^2 \sum B_n^* x^n} $ 及 $ b_{n+2} = b_{n+1} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_k $。
• 利用對稱性與 Wilf-等價性分析，將模式對分組為等價類，從而減少需考慮的情況數量。
• 利用線上整數數列百科全書（OEIS）識別並驗證由小規模計算值所得的組合數列。
• 系統性地計算 $ |\mathcal{S}_n(P)| $（其中 $ |P| \geq 3 $），以推導出對更大模式集合的合理猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於長度為 $ n $ 的排列，避免任意一對 (1,2) 或 (2,1) 型廣義模式的排列數量為何？
• RQ2 哪些已知的組合數列（如 Catalan、Motzkin、Bell、Bessel）會計數這些避免模式對的排列？
• RQ3 對稱性與 Wilf-等價性如何將這些模式對分組為等價類？
• RQ4 避免三個或更多此類模式的排列類別的漸近或結構行為為何？
• RQ5 在避免 $ k \geq 3 $ 個此類模式的排列枚舉中，能否識別出一般性模式？

主要发现

• 對於 (1,2) 或 (2,1) 型模式對，避免排列的數量始終由標準數列之一給出：Bell 數 ($ B_n $)、Catalan 數 ($ C_n $)、Motzkin 數 ($ M_n $)、Bessel 數 ($ B_n^* $)，或由特定遞推關係定義的數列。
• 模式對 $ (1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}23, 12{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}3) $ 產生 Bessel 數 $ B_n^* $，其計數為 $[n]$ 的非重疊劃分。
• 模式對 $ (1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}23, 1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}32) $ 產生 $ \mathcal{S}_n $ 中的對合數 $ I_n $。
• 模式對 $ (1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}23, 13{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}2) $ 產生 Motzkin 數 $ M_n $，其計數為圓上非相交弦的數量。
• 對於包含三個或更多此類模式的集合，本文猜想其枚舉數列屬於以下之一：0、$ n $、$ 1 + \binom{n}{2} $、$ F_n $（Fibonacci）、$ \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} $、$ 2^{n-2} + 1 $、$ 2^{n-1} $ 或 $ M_n $，且在對稱性與 Wilf 類別中具有相應的頻率分佈。