[论文解读] Enumerating randoms

Bjørn Kjos-Hanssen, Frank Stephan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 1

一句话总结

本文研究左递归可枚举（left-r.e.）集合的可枚举性，重点关注随机集合与弱1-通用集合的类。研究证明，算术层级的第三和第四级可完全通过具有移位持久性元素的左-r.e.集合来表征，并表明尽管某些类如Martin-Löf随机集合允许左-r.e.编号，但左-r.e.随机集合的任何类均不存在规范的左-r.e.编号，凸显了集合与实数编号之间的根本差异。

ABSTRACT

We investigate enumerability properties for classes of sets which permit recursive, lexicographically increasing approximations, or left-r.e. sets. In addition to pinpointing the complexity of left-r.e. Martin-Lof, computably, Schnorr, and Kurtz random sets, weakly 1-generics and their complementary classes, we find that there exist characterizations of the third and fourth levels of the arithmetic hierarchy purely in terms of these notions. More generally, there exists an equivalence between arithmetic complexity and existence of numberings for classes of left-r.e. sets with shift-persistent elements. While some classes (such as Martin-Lof randoms and Kurtz non-randoms) have left-r.e. numberings, there is no canonical, or acceptable, left-r.e. numbering for any class of left-r.e. randoms. Finally, we note some fundamental differences between left-r.e. numberings for sets and reals.

研究动机与目标

• 分析可接受递归、字典序递增逼近的集合类的可枚举性属性，即左-r.e.集合。
• 确定Martin-Löf、递归、Schnorr和Kurtz随机集合在左-r.e.框架下的复杂度。
• 仅使用左-r.e.集合属性与移位持久性元素，表征算术层级的第三和第四级。
• 研究左-r.e.随机集合类及其补集的左-r.e.编号的存在性与性质。
• 阐明在左-r.e.构造背景下，集合编号与实数编号之间的根本区别。

提出的方法

• 本文使用递归的、字典序递增的逼近方法来定义并分析左-r.e.集合。
• 应用移位持久性的概念，以表征左-r.e.集合类中算术复杂度层级。
• 采用可定义性与约化技术，将算术层级与左-r.e.类的可枚举性属性关联起来。
• 通过结构与递归理论论证，分析规范左-r.e.编号的存在与非存在性。
• 通过考察左-r.e.逼近的闭包与持久性属性，比较集合与实数编号的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 算术层级的第三和第四级是否可完全通过仅使用具有移位持久性元素的左-r.e.集合来表征？
• RQ2 Martin-Löf随机集合及其补集是否允许左-r.e.编号，若存在，这些编号是否为规范的？
• RQ3 当应用于集合与实数时，左-r.e.编号的本质是否存在根本性差异？
• RQ4 移位持久性在连接算术复杂度与左-r.e.类可枚举性方面起什么作用？
• RQ5 为何任何左-r.e.随机集合类均不存在可接受的左-r.e.编号？

主要发现

• 算术层级的第三和第四级完全由具有移位持久性元素的左-r.e.集合的存在性所表征。
• Martin-Löf随机集合与Kurtz非随机集合允许左-r.e.编号，但任何左-r.e.随机集合类均不存在规范编号。
• 左-r.e.类中移位持久性元素的存在，为算术复杂度在第三和第四级提供了完整表征。
• 左-r.e.集合编号与左-r.e.实数编号之间存在根本性差异，其根源在于闭包与持久性属性的不同。
• 本文证明，尽管相关类存在非规范编号，但任何左-r.e.随机集合类均不存在可接受的左-r.e.编号。