[论文解读] Enumerating Regular Objects associated with Suzuki Groups

Martin Downs, Gareth A. Jones|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文在 Suzuki 群 $Sz(q)$ 的子群格上应用 Möbius 反演，以枚举其定向保持自同构群同构于 $Sz(q)$ 的正则组合对象——如地图、超图、dessins d'enfants 和曲面覆叠。利用为 $Sz(q)$ 计算出的 Möbius 函数 $μ_G$，作者推导出这些对象的显式计数公式，对最小的非交换单个 Suzuki 群 $Sz(8)$ 进行了详细枚举，得到 1054 个正则超图和 9534 个定向正则超图。

ABSTRACT

We use the Möbius function of the simple Suzuki group Sz(q) to enumerate regular objects such as maps, hypermaps, dessins d'enfants and surface coverings with automorphism groups isomorphic to Sz(q).

研究动机与目标

• 将正则组合对象（如地图、超图和 dessins d'enfants）的枚举扩展至自同构群同构于 Suzuki 群 $Sz(q)$ 的情形，这些群是非交换有限单群。
• 在 $Sz(q)$ 的子群格上应用 Hall 的 Möbius 反演理论，以计数有限生成群 $\Gamma$ 的正规子群 $N$ 满足 $\Gamma/N \cong Sz(q)$，从而实现对正则对象的枚举。
• 为最小的 Suzuki 群 $Sz(8)$ 提供全面的枚举，包括按类型分类的正则地图与超图、定向正则地图与超图，以及按亏格分类的正则曲面覆叠。
• 通过使用 $G = Sz(2^e)$ 的完整 Möbius 函数 $\mu_G$，推广先前仅在子群 $H \cong Sz(2^f)$（其中 $f|e$）上受限的 Möbius 反演方法，实现更广泛且完整的枚举。

提出的方法

• 在有限群 $G$ 的子群格上使用 Hall 的 Möbius 反演，其中 Möbius 函数 $\mu_G(H)$ 通过递归关系 $\sum_{K \geq H} \mu_G(K) = \delta_{H,G}$ 定义。
• 应用公式 $|{\rm Epi}(\Gamma, G)| = \sum_{H \leq G} \mu_G(H) |{\rm Hom}(\Gamma, H)|$ 来计数从有限生成群 $\Gamma$ 到 $G = Sz(q)$ 的满同态，这些满同态对应于自同构群为 $G$ 的正则对象。
• 通过公式 $n_\Gamma(G) = \frac{1}{|{\rm Aut}\,G|} \sum_{H \leq G} \mu_G(H) |{\rm Hom}(\Gamma, H)|$ 计算满足 $\Gamma/N \cong G$ 的正规子群 $N \triangleleft \Gamma$ 的数量，该公式与 ${{\rm Aut}\,G}$ 作用下生成对的轨道数相关联。
• 利用特征标理论和群论数据（如 Sylow 子群、共轭类）确定给定阶数的生成三元组数量，满足 $xyz = 1$，这些三元组用于按类型分类超图和地图。
• 使用公式 $r_g(G) = \frac{1}{3} \left\{ |G|^n (1 + 2\cdot14^{-n} + \cdots) - \cdots \right\}$，其中 $n = 2g-2$，来枚举覆盖群为 $G = Sz(8)$ 的定向曲面（亏格 $g$）的正则覆叠。
• 利用完整的 Möbius 函数 $\mu_G$（不限于同构于 $Sz(2^f)$ 的子群 $H$），获得比以往研究更广泛、更完整的枚举结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 有多少个正则超图和地图的定向保持自同构群同构于 $Sz(8)$？
• RQ2 在自同构群为 $Sz(8)$ 的定向正则地图与超图中，类型 $\{m,n\}$ 的分布如何？
• RQ3 有多少个亏格为 $g$ 的正则曲面覆叠，其覆叠群为 $Sz(8)$？该数量如何随 $g$ 增长？
• RQ4 $G = Sz(2^e)$ 的 ${{\rm Aut}\,G}$ 在生成对上的轨道数是多少？它与正则对象数量有何关系？
• RQ5 如何利用 $G = Sz(q)$ 的完整 Möbius 函数 $\mu_G$ 来枚举超出先前受限反演方法范围的正则对象？

主要发现

• 群 $G = Sz(8)$ 是 1054 个正则超图和 14 个正则地图的自同构群，所有这些对象均为非可定向的。
• 有 9534 个定向正则超图和 142 个定向正则地图，其定向保持自同构群为 $G = Sz(8)$。
• 在 142 个定向正则地图中，14 个是可反射的（内反射的），其余 128 个构成 64 对互为镜像的图形。
• 定向正则地图类型 $\{m,n\}$ 的数量见表 4，其中类型 $\{5,5\}$ 有 30 个，类型 $\{7,7\}$ 有 62 个，类型 $\{13,13\}$ 有 34 个。
• 正则地图类型 $\{m,n\}$ 的数量见表 5，共 14 个此类地图，无类型 $\{4,n\}$ 或 $\{m,4\}$ 的地图，原因在于不存在与自身逆共轭的 4 阶元素。
• 当 $g=2$ 时，覆盖群为 $G = Sz(8)$ 的定向曲面的正则覆叠数量为 286,063,776，且当 $g \to \infty$ 时，渐近关系为 $r_g(G) \sim 847,974,400^{g-1}/3$。