[论文解读] Enumerating Vertices of $0/1$-Polyhedra associated with $0/1$-Totally Unimodular Matrices

Khaled Elbassioni, Kazuhisa Makino|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用 2

一句话总结

本文提出了一种增量多项式时间算法，用于枚举由 0/1-全单峰矩阵定义的 0/1-多面体的顶点。通过利用 Segrer 的全单峰矩阵分解，并将顶点枚举问题转化为全单峰超图中的最小击中集计算，作者证明了此类顶点枚举可在增量多项式时间内求解，从而解决了多面体组合学中的一个开放问题。

ABSTRACT

We give an incremental polynomial time algorithm for enumerating the vertices of any polyhedron $\mathcal{P}(A,\mathbf{1})=\{x\in\RR^n \mid Ax\geq \b1,~x\geq \b0\}$, when $A$ is a totally unimodular matrix. Our algorithm is based on decomposing the hypergraph transversal problem for unimodular hypergraphs using Seymour's decomposition of totally unimodular matrices, and may be of independent interest.

研究动机与目标

• 解决由 0/1-全单峰矩阵定义的 0/1-多面体的顶点枚举复杂性问题。
• 证明此类多面体的顶点枚举问题可在增量多项式时间内求解。
• 通过矩阵分解，弥合顶点枚举与全单峰超图中最小击中集计算之间的差距。
• 将关于特殊情形（例如二分图、区间超图）的已知结果推广至 0/1-全单峰矩阵的一般情形。

提出的方法

• 利用 Segrer 的全单峰矩阵分解定理，作者将矩阵分解为基本构建块，包括 0/1-网络矩阵。
• 顶点枚举问题被简化为计算由矩阵行结构导出的全单峰超图的全部最小击中集。
• 采用递归分解策略，根据矩阵和超图的结构特性，将超图划分为更小的子问题。
• 算法基于超图结构（例如全超边的存在性、不相交顶点集）进行案例分析，以指导递归分解。
• 通过在分解组件中使用多项式时间子程序，逐步执行击中集计算。
• 通过击中集大小和递归分解深度的归纳界，证明了算法的正确性及增量多项式时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 0/1-全单峰矩阵定义的 0/1-多面体的顶点枚举问题是否可在增量多项式时间内求解？
• RQ2 是否可以利用全单峰矩阵的结构，将顶点枚举问题约化为超图中的最小击中集计算？
• RQ3 全单峰超图的击中集问题是否具有增量多项式时间解法？
• RQ4 全单峰矩阵的分解能否提升至对应超图击中集问题的相应分解？
• RQ5 当定义矩阵为全单峰矩阵时，0/1-多面体的顶点枚举问题的计算复杂性如何？

主要发现

• 由 0/1-全单峰矩阵 A 定义的任意 0/1-多面体 P(A, 1¯) 的顶点可在增量多项式时间内枚举。
• 该问题可约化为计算全单峰超图 H[A] 的全部最小击中集，其超边对应于 A 的行。
• 通过利用 Segrer 的全单峰矩阵分解所导出的结构特性，递归分解超图，实现了增量多项式时间复杂度。
• 算法通过基于超图结构的案例分析（包括全超边和不相交顶点集的存在性）处理所有情形。
• 击中集计算的总工作量被控制，使得递归调用中的总计算量在输入大小和输出大小上均为多项式。
• 该结果表明，此类多面体的顶点枚举问题并非 NP-难，与一般无界情形形成对比。