[论文解读] Enumeration and Decidable Properties of Automatic Sequences

Émilie Charlier, Narad Rampersad+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2011

semigroups and automata theory参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文证明了众多 $k$-自动序列的组合性质——例如无边因子或回文因子的存在性——可通过 $<\mathbb{N}, +, V_k>$ 结构上的自动机理论与逻辑技术实现可判定性与有效枚举。关键贡献在于证明了相关序列（包括因子计数与出现指示序列）要么是 $k$-自动的，要么是 $k$-正则的，且该结果可推广至类似可判定性与枚举性的Pisot进位系统。

ABSTRACT

We show that various aspects of k-automatic sequences -- such as having an unbordered factor of length n -- are both decidable and effectively enumerable. As a consequence it follows that many related sequences are either k-automatic or k-regular. These include many sequences previously studied in the literature, such as the recurrence function, the appearance function, and the repetitivity index. We also give some new characterizations of the class of k-regular sequences. Many results extend to other sequences defined in terms of Pisot numeration systems.

研究动机与目标

• 确定 $k$-自动序列的基本组合性质是否可通过逻辑与自动机理论方法实现可判定性。
• 证明枚举函数（如长度为 $n$ 的不同因子数量）是有效可计算的，并属于 $k$-正则序列类。
• 将 $k$-自动序列的可判定性与枚举性结果扩展至基于Pisot进位系统的序列。
• 通过 $<\mathbb{N}, +, V_k>$ 中的逻辑可定义性，为 $k$-正则序列提供新的刻画方式。
• 重新获得或改进先前关于重复性、出现与重复函数在自动序列中的研究成果。

提出的方法

• 使用有限自动机，从索引的基-$k$ 表示计算 $k$-自动序列。
• 通过加法、比较与量词模拟（存在与全称）等操作的闭包性质，构建新自动机，以编码逻辑谓词。
• 应用 Büchi 的逻辑框架，在 $<\mathbb{N}, +, V_k>$ 中表达性质，其中 $V_k(n)$ 表示整除 $n$ 的最大 $k$ 的幂。
• 使用逆序数字表示与元组编码（例如，数对）在自动机构造中表示多个输入。
• 利用在Pisot系统中加法是 $U$-可识别的事实，将可判定性扩展至 $U$-自动序列。
• 将枚举问题约化为自动机理论验证（例如，语言的空性或有限性），以实现有效枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否算法性地判定 $k$-自动序列中长度为 $n$ 的无边因子是否存在？
• RQ2 $k$-自动序列中长度为 $n$ 的不同回文因子或平方因子的数量是否可有效枚举且为 $k$-正则？
• RQ3 像 $r$-幂或回文因子这样的性质能否在 $<\mathbb{N}, +, V_k>$ 中以一阶可定义谓词形式表达？
• RQ4 自动序列的出现函数与重复函数是否属于 $k$-正则序列类？
• RQ5 可判定性与枚举性结果能否从基-$k$ 系统推广至Pisot进位系统？

主要发现

• 在 $k$-自动序列中，长度为 $n$ 的无边因子的存在性是可判定的，且对应的指示序列是 $k$-自动的。
• 在Pisot进位系统 $U$ 下，从位置 $n$ 开始的无边、回文或平方因子的数目是 $({{\mathbb{N}}_{\infty}}, U)$-正则的。
• 在Pisot系统 $U$ 中，$n$ 的非规范化表示的数量是 $({{\mathbb{N}}_{\infty}}, U)$-正则的，推广了关于Fibonacci表示的早期结果。
• $k$-自动序列的临界指数是可计算的，扩展了先前关于可判定性的研究。
• 建立了两个最多含 $q$ 个状态的 $k$-自动序列之间最短区分因子长度的上界为 $2^{2^{2^{2q^2}}}$。
• 本文重新获得并改进了Mossé、Allouche等人、Currie、Garel、Fagnot以及Brown等人关于重复性、出现与重复函数的研究成果。