[论文解读] Enumeration of Enumeration Algorithms

K. Wasa|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 53被引用 20

一句话总结

本篇全面综述系统整理了在几何、图论、超图、拟阵、字符串和逻辑等不同组合领域中的枚举算法。它按问题类型系统组织已知算法，提供时间复杂度界限、空间需求和参考文献，重点关注多项式延迟和每个解的均摊常数时间，为组合枚举与算法设计领域的研究人员提供基础性参考。

ABSTRACT

In this paper, we enumerate enumeration problems and algorithms. This survey is under construction. If you know some results not in this survey or there is anything wrong, please let me know.

研究动机与目标

• 提供一个集中化、最新的多领域枚举算法目录，涵盖图论、超图、字符串和逻辑等领域。
• 根据时间复杂度、空间使用量和延迟特性（如多项式延迟、常数均摊时间）对已知算法进行分类与总结。
• 通过整合来自不同来源的研究成果（包括福田、松井等人的工作），为研究人员提供一份持续更新的活体参考文献。
• 通过识别现有文献中的开放问题与空白，支持高效枚举算法的开发。
• 通过提供问题类别与算法技术的结构化概览，促进组合枚举领域的研究。

提出的方法

• 将枚举问题划分为11个主要部分：几何、图论、超图、拟阵、序理论、逻辑、排列、可满足性（SAT）、集合、字符串及综述。
• 针对每个问题，报告输入、输出、时间复杂度（总时间与每个解的延迟时间）、空间复杂度，以及关键参数如n（输入规模）、N（解的数量）和m（约束数量）。
• 利用已知的算法技术，如深度优先搜索、回溯法和动态规划，通常结合堆或 tries 等数据结构以实现高效生成。
• 对几何问题（如正则三角剖分）使用线性规划（LP）子程序，其复杂度取决于求解线性规划的时间。
• 应用组合生成技术，如使用 Lyndon 单词、项链和手镯，以实现每个输出的常数均摊时间。
• 依赖于将问题归约到已知问题（如三角剖分问题中的最大独立集），并利用现有的枚举框架（如 CAT 算法，即常数均摊时间算法）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于生成生成树、团和三角剖分等基本组合问题，最高效的枚举算法是什么？
• RQ2 哪些枚举问题可以实现多项式延迟或每个解的常数均摊时间？其背后的算法原理是什么？
• RQ3 如何系统地对枚举算法进行分类与组织，以支持研究与实现？
• RQ4 在不同问题类别中，总时间、延迟与空间使用之间的关键复杂度权衡是什么？
• RQ5 哪些问题仍处于开放状态或缺乏高效的枚举算法？研究人员如何能填补这些空白？

主要发现

• 本文提出一种总时间复杂度为 $O(n\text{log}n + k\text{log}k)$ 的算法，用于枚举平面上 $n$ 个点之间的 $k$ 个最小距离，空间复杂度为 $O(n+k)$。
• 对于点集中的非交叉完美匹配，该算法在经过 $O(2^n n^4)$ 的预处理时间后，可实现多项式延迟。
• 对固定密度 $d$ 的 $k$-元项链的枚举，总时间复杂度为 $O(nN)$，空间复杂度为 $O(n)$，其中 $N$ 为解的数量。
• 通过先进的组合生成技术，实现了对 $k$-元项链、手镯以及含禁止子串的字符串的常数均摊时间枚举。
• 在 $d$-维空间中所有正则三角剖分的枚举，时间复杂度为 $O(ds \cdot \text{LP}(r,ds) \cdot T)$，其中 $T$ 为三角剖分数，$\text{LP}$ 为求解线性规划所需时间。
• 对于平面上点集的所有三角剖分，算法总时间复杂度为 $O(|P|N)$，空间复杂度为 $O(|P|)$，其中 $N$ 为三角剖分数。