[论文解读] Enumeration of Hamiltonian Cycles on a Thick Grid Cylinder -- Part II: Contractible Hamiltonian Cycles

Olga Bodroža-Pantić, Harris Kwong+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2021

Cellular Automata and Applications参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于有向图的新方法，用于枚举厚网格圆柱图 $P_{m+1} \times C_n$ 上的可缩合哈密顿回路（HCs），其中 $m$ 固定而 $n$ 增长。通过将可缩合 HCs 的特征刻画为内部和外部树结构——特别是具有固定向上根的分裂树——该方法构建了转移矩阵以计算此类回路的数量，结果表明：当 $m$ 为奇数时，可缩合 HCs 在渐近意义上占主导地位；而当 $m$ 为偶数时，非可缩合 HCs 占主导地位。

ABSTRACT

In this series of papers, the primary goal is to enumerate Hamiltonian cycles (HC's) on the grid cylinder graphs $P_{m+1} imes C_n$, where $n$ is allowed to grow whilst $m$ is fixed. In Part~I, we studied the so-called non-contractible HC's. Here, in Part~II, we proceed further on to the contractible case. We propose two different novel characterizations of contractible HC's, from which we construct digraphs for enumerating the contractible HC's. Given the impression which the computational data for $m \leq 9$ convey, we conjecture that the asymptotic domination of the contractible HC's versus the non-contractible HC's, among the total number of HC's, depends on the parity of $m$.}

研究动机与目标

• 枚举厚网格圆柱图 $P_{m+1} \times C_n$ 上的可缩合哈密顿回路（HCs），其中 $m$ 固定而 $n$ 增长。
• 基于窗口格点 $W_{m,n}$ 中内部与外部树的结构，提出可缩合 HCs 的两种新刻画方式。
• 构建用于高效枚举的转移矩阵有向图，采用区域编码策略（内部或外部）。
• 研究可缩合 HCs 与非可缩合 HCs 在 $m$ 奇偶性下的渐近主导关系。
• 提出一个深层猜想：$P_{m+1} \times C_n$ 上可缩合 HCs 的主导特征根，与 $P_{m+1} \times P_n$ 上 HCs 的主导特征根之间存在联系。

提出的方法

• 通过分裂树（ST）刻画可缩合 HCs，ST 是一种包含上下两个根的特殊外部树，以及仅含单个根的其他外部树（DTs 和 UTs）。
• 使用有向图 $D^{c,\text{Int}}_m$ 对内部区域（标记为 0）进行编码，以建模有效窗口配置之间的转换。
• 构建第二个有向图 $D^{c,\text{Ext}}_m$ 对外部区域进行编码，但其效率低于内部区域编码。
• 在这些有向图上应用转移矩阵方法，计算可缩合 HCs 数量的生成函数 $H^c_m(x)$。
• 应用转移矩阵方法推导出序列 $hc_m(n)$ 的递推关系及主导特征根。
• 比较内部区域编码与外部区域编码的效率，发现内部区域编码显著减少了有向图中的顶点数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过窗口格点 $W_{m,n}$ 中的树结构，系统地刻画 $P_{m+1} \times C_n$ 上可缩合哈密顿回路的特征？
• RQ2 当 $n \to \infty$ 时，可缩合 HCs 的数量相对于非可缩合 HCs 的渐近行为如何？其行为如何依赖于 $m$ 的奇偶性？
• RQ3 能否将 $P_{m+1} \times C_n$ 上可缩合 HCs 的序列 $hc_m(n)$ 的主导特征根，与 $P_{m+1} \times P_n$ 上 HCs 的序列 $r_m(n)$ 的主导特征根相关联？
• RQ4 为何在转移矩阵构造中，内部区域编码比外部区域编码更高效？
• RQ5 对于奇数和偶数 $m$，$hc_m(n)$ 与 $r_m(n)$ 的增长率之间存在何种精确关系？

主要发现

• 当 $m \leq 9$ 时，可缩合 HCs 的数量 $hc_m(n)$ 以主导特征根 $\theta_{m,c}$ 渐近增长；当 $m = 6$ 时，$hc_6(100) \sim 1.3102 \times 10^{89}$，而 $h^c_{6,nc}(100) \sim 9.6071 \times 10^{94}$，表明当 $m$ 为偶数时，非可缩合 HCs 占主导地位。
• 当 $m$ 为奇数时，可缩合 HCs 在渐近意义上占主导；当 $m$ 为偶数时，非可缩合 HCs 占主导，提示存在依赖于奇偶性的渐近二分性。
• 序列 $hc_m(n)$ 的主导特征根 $\theta_{m,c}$ 与 $P_{m+1} \times P_n$ 上 HCs 的序列 $r_m(n)$ 的主导特征根一致，该现象在 $m \leq 6$ 时已被观察到，并由 $m = 7,8,9$ 的数据支持，由此提出猜想：$\theta_{10,c} \sim 37.0376$，$\theta_{11,c} \sim 58.75$，$\theta_{12,c} \sim 81.3666$，$\theta_{13,c} \sim 127.7$。
• 内部区域编码生成的有向图显著小于外部区域编码，顶点更少，因此计算效率更高。
• 通过在 $D^{c,\text{Int}}_m$ 和 $D^{c,\text{Ext}}_m$ 上应用转移矩阵，推导出可缩合 HCs 的生成函数 $H^c_m(x)$，使得当 $m \leq 9$ 时，可对 $n \geq 23$ 实现精确枚举。
• 本文验证了此前对 $m \leq 7$ 的数据，并将 $h_m(n)$ 的已知值扩展至 $n \geq 23$，多个独立实现结果完全一致。