[论文解读] Enumeration of points, lines, planes, etc

June Huh, Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文通过建立有限射影空间中有限点集所生成的几何格中秩层大小的新不等式，证明了射影几何中关于点-线构型的de Bruijn–Erdös定理与Motzkin定理的广泛推广。利用代数几何中的深刻工具——特别是BBD82中的交集上同调分解定理——本文证明：对于此类格，当 $ p + q \leq r $ 时，$ p $-维子空间的数量至多等于 $ (r-q) $-维子空间的数量，并表明秩层之间的差值构成了一个可壳化单纯复形的 $ h $-向量。

ABSTRACT

One of the earliest results in enumerative combinatorial geometry is the following theorem of de Bruijn and Erdős: Every set of points $E$ in a projective plane determines at least $|E|$ lines, unless all the points are contained in a line. Motzkin and others extended the result to higher dimensions, who showed that every set of points $E$ in a projective space determines at least $|E|$ hyperplanes, unless all the points are contained in a hyperplane. Let $E$ be a spanning subset of a $d$-dimensional vector space. We show that, in the partially ordered set of subspaces spanned by subsets of $E$, there are at least as many $(d-k)$-dimensional subspaces as there are $k$-dimensional subspaces, for every $k$ at most $d/2$. This confirms the "top-heavy" conjecture of Dowling and Wilson for all matroids realizable over some field. The proof relies on the decomposition theorem package for $\ell$-adic intersection complexes.

研究动机与目标

• 解决Dowling与Wilson提出的、可定义在域上的几何格的上重猜想。
• 推广射影几何中关于点-线与点-超平面构型的经典结果。
• 建立几何格中 $ p $-维与 $ (r-q) $-维子空间数量之间关系的新不等式。
• 证明连续秩层大小之差构成一个可壳化单纯复形的 $ h $-向量。
• 利用交集上同调与代数胞腔分解，提供Sperner性质与单峰性的上同调证明。

提出的方法

• 使用BBD82中的交集复形分解定理，分析与超平面构型相关联的代数簇 $ Y_{\mathscr{A}} $ 的上同调。
• 构造一个以底层拟阵 $ \mathrm{M} $ 的平坦集为指标的代数胞腔分解，其中每个胞腔同构于仿射空间 $ \mathbb{A}^{\text{rank}(F)} $。
• 应用分解定理，证明 $ Y_{\mathscr{A}} $ 的上同调同构于拟阵 $ \mathrm{M} $ 的Chow环，通过一个单射的分次环同态实现。
• 证明 $ Y_{\mathscr{A}} $ 的贝蒂数等于各秩的平坦集数量，从而表明上同调集中在偶数度数，且具有纯霍奇结构。
• 利用霍奇-罗宾逊关系与霍奇-罗宾逊形式的非退化性，推导出格中秩层大小的不等式。
• 应用可壳化单纯复形的理论，证明序列 $ |\mathscr{L}^{p+1}| - |\mathscr{L}^{p}| $ 构成一个可壳化复形的 $ h $-向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在射影空间中由有限点集生成的几何格中，当 $ p + q \leq r $ 时，$ p $-维子空间的数量是否满足 $ |\mathscr{L}^{p}| \leq |\mathscr{L}^{r-q}| $？
• RQ2 差值 $ |\mathscr{L}^{p+1}| - |\mathscr{L}^{p}| $ 是否可解释为一个可壳化单纯复形的 $ h $-向量？
• RQ3 是否存在一个自然的单射映射 $ \iota: \mathscr{L}^{p} \to \mathscr{L}^{r-q} $，使得对所有 $ x $ 都有 $ x \leq \iota(x) $？
• RQ4 拟阵的Chow环是否可通过代数簇 $ Y_{\mathscr{A}} $ 的交集上同调实现？
• RQ5 对于一个拟阵 $ \mathrm{M} $，比值 $ b(\mathrm{M})b_{ij}(\mathrm{M}) / (b_i(\mathrm{M})b_j(\mathrm{M})) $ 的最大可能值是多少，它与霍奇-罗宾逊关系有何关联？

主要发现

• 定理2的第一部分证明：对于任意不包含于超平面中的 $ \mathbb{P}^{r-1} $ 中的有限点集 $ E $，当 $ p + q \leq r $ 时，有 $ |\mathscr{L}^{p}| \leq |\mathscr{L}^{r-q}| $，并给出了一个显式的单射序保持映射 $ \iota: \mathscr{L}^{p} \to \mathscr{L}^{r-q} $。
• 定理2的第二部分表明：序列 $ |\mathscr{L}^{0}|, |\mathscr{L}^{1}| - |\mathscr{L}^{0}|, \dots, |\mathscr{L}^{p+1}| - |\mathscr{L}^{p}| $ 构成一个可壳化单纯复形的 $ h $-向量，从而表明秩层大小具有单峰性。
• 簇 $ Y_{\mathscr{A}} $ 的上同调同构于拟阵 $ \mathrm{M} $ 的Chow环，且贝蒂数等于各秩的平坦集数量。
• 分解定理表明，自然映射 $ \mathrm{H}^{2*}(Y_{\mathscr{A}}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell) \to \mathrm{IH}^{2*}(Y_{\mathscr{A}}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell) $ 是单射，且所有奇数上同调群都为零。
• 在 $ B^1(\mathrm{M}) $ 上的霍奇-罗宾逊形式恰好有一个正特征值，这意味着对所有 $ i,j $ 有 $ 2 > b(\mathrm{M})b_{ij}(\mathrm{M}) / (b_i(\mathrm{M})b_j(\mathrm{M})) $，且等号仅在特殊情况下成立。
• 本文构造了一个显式的单射分次环同态，从 $ B^*(\mathrm{M}) \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{\mathbb{Q}}_\ell $ 到 $ \mathrm{H}^{2*}(Y_{\mathscr{A}}, \overline{\mathbb{Q}}_\ell) $，且该同态是同构，从而在拟阵理论与代数几何之间建立了深刻联系。