[论文解读] Enumeration of polyominoes defined in terms of pattern avoidance or convexity constraints

Daniela Battaglino|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种新颖的框架，通过模式避免与凸性约束对多格骨牌进行枚举，借助二值矩阵中的子矩阵避免，将多格骨牌类与排列类联系起来。该研究建立了多格骨牌类与排列模式之间的联系，推导出 $k$-平行四边形多格骨牌的生成函数，并提供了多格骨牌与种植平面树之间的双射证明，为结构化多格骨牌族提供了新的组合洞察与枚举技术。

ABSTRACT

In this thesis, we consider the problem of characterizing and enumerating sets of polyominoes described in terms of some constraints, defined either by convexity or by pattern containment. We are interested in a well known subclass of convex polyominoes, the k-convex polyominoes for which the enumeration according to the semi-perimeter is known only for k=1,2. We obtain, from a recursive decomposition, the generating function of the class of k-convex parallelogram polyominoes, which turns out to be rational. Noting that this generating function can be expressed in terms of the Fibonacci polynomials, we describe a bijection between the class of k-parallelogram polyominoes and the class of planted planar trees having height less than k+3. In the second part of the thesis we examine the notion of pattern avoidance, which has been extensively studied for permutations. We introduce the concept of pattern avoidance in the context of matrices, more precisely permutation matrices and polyomino matrices. We present definitions analogous to those given for permutations and in particular we define polyomino classes, i.e. sets downward closed with respect to the containment relation. So, the study of the old and new properties of the redefined sets of objects has not only become interesting, but it has also suggested the study of the associated poset. In both approaches our results can be used to treat open problems related to polyominoes as well as other combinatorial objects.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，基于凸性与模式避免约束对多格骨牌进行分类与枚举。
• 通过二值矩阵中的子矩阵避免，建立多格骨牌类与排列类之间的对应关系。
• 探索 $k$-平行四边形多格骨牌的结构与枚举性质，及其与树状结构的关系。
• 研究多格骨牌类与排列类的最小与规范 $m$-基的存在性与性质。
• 通过子矩阵避免，将排列模式中已知的 Wilf-等价性结果扩展至多格骨牌类的语境。

提出的方法

• 通过特定子矩阵的避免定义多格骨牌类，使用 $m$-基与 $p$-基形式化来表征它们。
• 应用 Schützenberger 方法论（DSV）推导 $k$-平行四边形多格骨牌生成函数的功能方程。
• 构建 $k$-平行四边形多格骨牌与种植平面树之间的双射，将 $k$-凸性度数与树高联系起来。
• 利用生成函数与递推关系对 $k$-平行四边形多格骨牌进行枚举，推导出闭式公式。
• 将排列模式避免转化为二值矩阵中的子矩阵避免，以定义并分析多格骨牌类。
• 采用 Stanley-Wilf-Marcus-Tardos 定理作为理论基准，评估多格骨牌类的密度性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过二值矩阵中的子矩阵避免，系统地定义与表征多格骨牌类？
• RQ2 在多格骨牌类的语境下，排列类的 $p$-基与其对应的 $m$-基之间存在何种关系？
• RQ3 能否显式推导出 $k$-平行四边形多格骨牌的生成函数？其组合解释是什么？
• RQ4 在何种条件下，一个类的 $p$-基同时也是其最小 $m$-基？此类基如何计算？
• RQ5 多格骨牌类是否表现出类似于排列类中 Stanley-Wilf 定理的密度性质？

主要发现

• 通过功能方程推导出 $k$-平行四边形多格骨牌的生成函数，并提供了闭式公式。
• 建立了 $k$-平行四边形多格骨牌与种植平面树之间的双射关系，其中 $k$-凸性度数对应于树的高度。
• 证明了蛇形多格骨牌族是通过避免特定子矩阵所定义的多格骨牌类。
• 通过显式 $p$-基表征了中空栈多格骨牌与带矩形孔的矩形，表明它们属于多格骨牌类。
• 多格骨牌类的 $p$-基可由任意 $m$-基导出，且规范 $m$-基为该类提供了最小表示。
• 子矩阵避免方法使得能够推导出无穷多个排列类中的 Wilf-等价性，扩展了文献中已知的结果。