[论文解读] Enumerative Algorithms for the Shortest and Closest Lattice Vector Problems in Any Norm via M-Ellipsoid Coverings

Daniel Dadush, Chris Peikert+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在任意范数下求解精确最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP）的确定性 2^O(n)-时间算法，利用 M-椭球覆盖将格点枚举问题转化为有限个结构化子问题。该方法对先前的筛法算法进行了去随机化，并利用了近期针对 ℓ2-范数 SVP 的算法，其中针对特定范数的建议信息可在 2^O(n) 时间内计算，适用于 ℓp 等关键范数。

ABSTRACT

We give an algorithm for solving the exact Shortest Vector Problem in n-dimensional lattices, in any norm, in deterministic 2 O(n) time (and space), given poly(n)-sized advice that depends only on the norm. In many norms of interest, including all ℓp norms, the advice is efficiently and deterministically computable, and in general we give a randomized algorithm to compute it in expected 2 O(n) time. We also give an algorithm for solving the exact Closest Vector Problem in 2 O(n) time and space, when the target point is within any constant factor of the minimum distance of the lattice. Our approach may be seen as a derandomization of ‘sieve ’ algorithms for exact SVP and CVP (Ajtai, Kumar, and Sivakumar; STOC 2001 and CCC 2002), and uses as a crucial subroutine the recent deterministic algorithm of Micciancio and Voulgaris (STOC 2010) for lattice problems in the ℓ2 norm. Our main technique is to reduce the enumeration of lattice points in an arbitrary convex body K to enumeration in 2 O(n) copies of an M-ellipsoid of K, a classical concept in asymptotic convex geometry. Building on the techniques of Klartag (Geometric and Functional Analysis, 2006), we also give an expected 2 O(n)-time algorithm to compute an M-ellipsoid covering of any convex body, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 在 2^O(n) 时间和空间内，为任意范数下的精确最短向量问题（SVP）开发一种确定性算法。
• 将该方法扩展至在目标点与格点最小距离在常数倍范围内的条件下，求解精确最近向量问题（CVP）。
• 为 Ajtai、Kumar 和 Sivakumar 的 SVP 与 CVP 随机筛法提供一种去随机化的替代方案。
• 为常见范数（如 ℓp）高效计算与范数相关的建议信息，确保该方法在这些情况下的实际可行性。
• 建立一个基于 M-椭球覆盖的一般性框架，将任意凸体中的格点枚举问题简化为有界子问题。

提出的方法

• 利用几何覆盖技术，将任意凸体 K 中格点枚举问题转化为在 2^O(n) 个 M-椭球副本中枚举点的问题。
• 使用 M-椭球作为原始凸体的对称且具有良好形状的近似，以简化并控制子问题的数量。
• 将 Micciancio 和 Voulgaris 提出的确定性 ℓ2-范数 SVP 算法作为核心子程序，用于求解 M-椭球结构中的子问题。
• 基于 Klartag 的渐近凸几何技术，使用一个期望运行时间为 2^O(n) 的随机算法，构造任意凸体的 M-椭球覆盖。
• 针对 ℓp 范数及其他常见范数，以 2^O(n) 时间确定性地计算与范数相关的建议信息，从而实现主算法的高效应用。
• 通过用 M-椭球覆盖的结构化枚举替代随机采样，实现对筛法方法的去随机化，确保确定性时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在任意范数下，而非仅 ℓ2 范数下，以确定性 2^O(n) 时间求解 SVP 和 CVP？
• RQ2 如何利用 M-椭球覆盖将任意凸体中格点枚举的复杂度降低？
• RQ3 该算法所需范数特定建议信息的计算成本是多少？对于 ℓp 等常见范数，能否高效计算？
• RQ4 能否使用随机算法在期望 2^O(n) 时间内计算任意凸体的 M-椭球覆盖？
• RQ5 在多大程度上可以通过几何覆盖结构对 Ajtai、Kumar 和 Sivakumar 的随机筛法求解 SVP 和 CVP 实现去随机化？

主要发现

• 本文实现了在任意范数下求解精确最短向量问题（SVP）的确定性 2^O(n)-时间算法，时间与空间复杂度均被限制在 2^O(n)。
• 对于最近向量问题（CVP），当目标点与格点最小距离在常数倍范围内时，该算法在 2^O(n) 时间和空间内运行。
• 该算法所需的与范数相关的建议信息，对于所有 ℓp 范数及其他常见范数，均可在 2^O(n) 时间内计算，从而支持其在实际中的部署。
• 本文提供了一种期望 2^O(n)-时间的随机算法，用于计算任意凸体的 M-椭球覆盖，该结果在凸几何领域本身可能具有独立兴趣。
• 该方法成功地通过用 M-椭球覆盖的结构化枚举替代随机采样，对 Ajtai、Kumar 和 Sivakumar 的原始筛法实现了去随机化。
• M-椭球的使用将子问题数量减少至 2^O(n)，确保整体时间复杂度保持在所述范围内。