[论文解读] Enumerative geometry of plane curves of low genus

Ravi Vakil|ArXiv.org|Mar 2, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 16

一句话总结

本文通过稳定映射的模空间上的交点理论，推导出具有指定奇点和关联条件的低亏格平面曲线（亏格 0–3）的递归公式。通过将诸如 A、B、C 和边界除子等除子类用已知不变量表示，并限制在通过一般点的一参数族上，作者导出了特征数、Severi 变体的几何与算术截面亏格，以及尖点、双切点和三重点曲线计数的可计算递归关系。

ABSTRACT

We collect various known results (about plane curves and the moduli space of stable maps) to derive new recursive formulas enumerating low genus plane curves of any degree with various behaviors. Recursive formulas are given for the characteristic numbers of rational plane curves, elliptic plane curves, and elliptic plane curves with fixed complex structure. Recursions are also given for the number of elliptic (and rational) plane curves with various "codimension 1" behavior (cuspidal, tacnodal, triple pointed, etc., as well as the geometric and arithmetic sectional genus of the Severi variety). We compute the latter numbers for genus 2 and 3 plane curves as well. We rely on results of Caporaso, Diaz, Getzler, Harris, Ran, and especially Pandharipande.

研究动机与目标

• 推导出对任意度数的有理曲线与椭圆曲线进行计数的递归公式，其具有指定奇点和关联条件。
• 计算亏格 2 和 3 曲线的 Severi 变体的几何与算术截面亏格。
• 利用模空间上的交点理论，为低亏格平面曲线的特征数提供可计算的算法。
• 通过递归关系，将已知的亏格 0 和 1 曲线结果推广至亏格 2 和 3，包括双曲情况。
• 通过稳定映射模空间与除子类恒等式，统一并推广 Caporaso、Diaz、Getzler、Harris、Ran 和 Pandharipande 的结果。

提出的方法

• 使用模栈 $\overline{{\mathcal{M}}}_{g}(\mathbb{P}^{2},d)^{*}$，其参数化从亏格 $g$、度数 $d$ 的不可约曲线到 $\mathbb{P}^2$ 的稳定映射。
• 定义关键除子类：$A = \pi_*(D^2)$，$B = \pi_*(D\cdot\omega)$，$C = \pi_*(\omega^2)$，以及 $TL = A + B$，其中 $D$ 是 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ 的拉回，$\omega$ 是相对对偶化层。
• 依赖于已知关系，将 $C$ 和 $TL - (\frac{d-1}{d})A$（当 $g=0$ 时）或 $TL - A = B$（当 $g=1$ 时）表示为边界除子 $\Delta_{i,j}$ 的和，这些边界除子参数化可约曲线。
• 将这些除子恒等式限制在通过 $3d + g - 2$ 个一般点且与一般直线相切的一维曲线族上。
• 通过 $g=2,3$ 的已知算法对除子类的次数（$|A|$，$|B|$，$|C|$，$|\Delta|$，$|TL|$）进行递归简化计算。
• 应用 Graber 的算法计算双曲平面曲线，并利用 $\overline{{\mathcal{M}}}_3$ 中的关系将 $|C|$ 表示为双曲数 $H_d$ 与其他不变量的组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些递归公式可用于枚举具有指定奇点（如尖点、双切点、三重点）和关联条件的度数为 $d$ 的有理与椭圆平面曲线？
• RQ2 如何计算亏格 2 和 3 的 Severi 变体 $V^{d,g}$ 的几何与算术截面亏格？
• RQ3 有多少条度数为 $d$ 的亏格 2 和 3 平面曲线通过 $3d + g - 2$ 个一般点且与一般直线相切？
• RQ4 在 $\overline{{\mathcal{M}}}_{g}(\mathbb{P}^2,d)^{*}$ 上的除子类关系如何导致枚举不变量的递归计算？
• RQ5 与拓扑递归或后代类相比，低亏格曲线的特征数能否更高效地计算？

主要发现

• 对于亏格 2 和 3，$|A|$、$|B|$、$|C|$、$|\Delta|$ 和 $|TL|$ 的次数通过 $g=2$ 的已知算法及 $g=3$ 的 Graber 方法递归计算得出。
• 度数为 4 的亏格 2 尖点曲线数量为 72，度数为 5 时为 239,400；对于亏格 3，尖点曲线数量在 $d=4$ 时为 0，$d=5$ 时为 49,680，$d=6$ 时为 329,520,312。
• Severi 变体 $V^{d,2}$ 的几何截面亏格 $\hat{g}$ 在 $d=4$ 时为 28，$d=5$ 时为 166,321，$d=6$ 时为 420,645,826；对于 $V^{d,3}$，$\hat{g} = 0$ 在 $d=4,5,6$ 时成立。
• Severi 变体 $V^{d,2}$ 的算术截面亏格 $g$ 在 $d=4$ 时为 325，$d=5$ 时为 762,994，$d=6$ 时为 1,410,743,814；对于 $V^{d,3}$，在 $d=4,5,6$ 时均为 0。
• 推导出 $NP(a,b)$ 的递归公式，涉及度数与点条件的分解，其项对应于通过节点像的 0、1 或 2 条切线的可约曲线。
• 实现算法的 Maple 程序可应要求提供，可计算 $4 \leq d \leq 6$ 时所有列出的不变量。