[论文解读] Enumerative geometry via the moduli space of super Riemann surfaces

Paul Norbury|arXiv (Cornell University)|May 9, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 9

一句话总结

本文建立了超双曲曲面模空间体积与稳定黎曼曲面模空间上上同调类之间的联系，通过代数几何方法证明了此前使用超几何技巧推导出的超体积递推关系。关键结果表明，类 $\Theta_{g,n}$ 与塔陶洛维奇类的交数生成函数是一个 KdV tau 函数，类似于 Mirzakhani 对 Kontsevich-Witten 定理的证明。

ABSTRACT

In this paper we relate volumes of moduli spaces of super Riemann surfaces to integrals over the moduli space of stable Riemann surfaces $\overline{\cal M}_{g,n}$. This allows us to prove via algebraic geometry a recursion between the volumes of moduli spaces of super hyperbolic surfaces previously proven via super geometry techniques by Stanford and Witten. The recursion between the volumes of moduli spaces of super hyperbolic surfaces is proven to be equivalent to the fact that a generating function for the intersection numbers of a natural collection of cohomology classes $Θ_{g,n}$ with tautological classes on $\overline{\cal M}_{g,n}$ is a KdV tau function. This is analogous to Mirzakhani's proof of the Kontsevich-Witten theorem regarding a generating function for the intersection numbers of tautological classes on $\overline{\cal M}_{g,n}$ using volumes of moduli spaces of hyperbolic surfaces.

研究动机与目标

• 通过代数几何方法证明此前由 Stanford 和 Witten 通过超几何方法建立的超双曲曲面模空间体积的递推关系。
• 将这些超体积与模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的上同调类 $\Theta_{g,n}$ 联系起来，将 Wolpert 和 Mirzakhani 的结果推广至超情形。
• 证明 $\Theta_{g,n}$ 与塔陶洛维奇类的交数生成函数是一个 KdV tau 函数，从而与 Kontsevich-Witten 定理建立深刻类比。

提出的方法

• 将超双曲曲面体积表示为在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上对类 $\Theta_{g,n}$、塔陶洛维奇类 $\kappa_1$ 和 $\psi_i$ 的积分。
• 使用体积多项式 $V^\Theta_{g,n}(L_1,\dots,L_n) = \int_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}} \Theta_{g,n} \cdot \exp\left\{2\pi^2\kappa_1 + \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n L_i^2\psi_i\right\}$ 来编码体积。
• 应用广义 McShane 公式，将锥角 $\phi$ 解释为虚长度 $i\phi$，以推导递推关系。
• 利用丛 $E_{g,n}$ 的欧拉形式及其上同调性质，将超黎曼曲面的形变理论与交集理论联系起来。
• 利用恒等式 $V^\Theta_{g,n+1}(2\pi i, L_1, \dots, L_n) = (2g-2+n)V^\Theta_{g,n}(L_1, \dots, L_n)$ 推导递推关系，无需使用导数。
• 利用次数小于 $n$ 的对称多项式由其在单个变量上的取值唯一确定的性质，实现体积的递归重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过代数几何而非超几何方法推导出超双曲曲面体积的递推关系？
• RQ2 超体积积分在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上的类的精确上同调解释是什么？
• RQ3 在经典情形中成立的 $\Theta_{g,n}$-塔陶洛维奇交数生成函数是否为 KdV tau 函数？
• RQ4 超体积的递推关系是否可由一个涉及 $L_i = 2\pi i$ 的函数方程导出，类似于 Mirzakhani 的递推？
• RQ5 与 Weil-Petersson 情形相比，超体积递推中缺少导数这一事实，反映了何种更深层次的结构差异？

主要发现

• 递推关系 $V^\Theta_{g,n+1}(2\pi i, L_1, \dots, L_n) = (2g-2+n)V^\Theta_{g,n}(L_1, \dots, L_n)$ 成立，为超体积递推提供了直接的代数推导。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上，$\Theta_{g,n}$ 与塔陶洛维奇类的交数生成函数是一个 KdV tau 函数，从而与 Kontsevich-Witten 定理建立了深刻类比。
• 超体积 $V^{SW}_{g,0} = 2^{1-g}V^\Theta_{g,0}$ 由 $V^\Theta_{g,1}(2\pi i) = (2g-2)V^\Theta_{g,0}$ 确定，表明 $n=0$ 情形可通过递推关系恢复。
• 当 $n < g-1$ 时，体积多项式 $V^\Theta_{g,n}$ 可通过递推式 (94) 由 $V^\Theta_{g,g-1}$ 确定，从而实现递归构造。
• 当 $n \geq g$ 时，$L_i^2$ 的次数为 $g-1$ 的对称多项式 $V^\Theta_{g,n}$ 由其在 $L_n = 2\pi i$ 处的取值唯一确定，而该取值通过递推关系与 $V^\Theta_{g,n-1}$ 相连。
• 与 Weil-Petersson 情形相比，超体积递推中缺少导数，而 Weil-Petersson 情形中满足 $\partial V^{WP}_{g,n+1}/\partial L_{n+1}(\dots, 2\pi i) = 2\pi i(2g-2+n)V^{WP}_{g,n}$，暗示了不同的深层结构。