[论文解读] Enumerative properties of Grid-Associahedra

Alexander Garver, Thomas McConville|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文通过在网格形状的非亲吻复形上建立 Chapoton 的 F-、H- 和 M-三角形的类比，引入了网格-卡塔兰组合学，证明了 F-三角形与 H-三角形之间的恒等式，并猜想 F-三角形与 M-三角形之间存在类似的恒等式。该研究提供了这些对象的组合解释、格论解释和几何解释，构建了一个完整的扇形实现（网格-并联复形扇），并建立了非亲吻复形与非交叉复形之间面的双射。

ABSTRACT

We continue the study of the nonkissing complex that was introduced by Petersen, Pylyavskyy, and Speyer and was studied lattice-theoretically by the second author. We introduce a theory of Grid-Catalan combinatorics, given the initial data of a nonkissing complex, and show how this theory parallels the well-known Coxeter-Catalan combinatorics. In particular, we present analogues of Chapoton's F-triangle, H-triangle, and M-triangle and give combinatorial, lattice-theoretic, and geometric interpretations of the objects defining these. In our Grid-Catalan setting, we prove that Chapoton's F-triangle and H-triangle identity holds, and we conjecture that Chapoton's F-triangle and M-triangle identity also holds. As an application, we obtain a bijection between the facets of the nonkissing complex and of the noncrossing complex, which provides a partial solution to an open problem of Santos, Stump, and Welker.

研究动机与目标

• 开发一个与考克斯eter-卡塔兰组合学平行的网格-卡塔兰组合学框架。
• 在网格形状的非亲吻复形背景下，定义并解释 F-、H- 和 M-三角形。
• 建立非亲吻复形与非交叉复形之间面的双射，解决 Santos、Stump 和 Welker 提出的一个开放问题。
• 提供 F-、H- 和 M-三角形的组合解释、格论解释和几何解释。
• 证明 F-三角形与 H-三角形之间的恒等式，并猜想 F-三角形与 M-三角形之间存在类似的恒等式，以模仿 Chapoton 在 A 型中的结果。

提出的方法

• 将非亲吻复形定义为在网格形状 λ 的有向路径上的纯单纯复形，其中边的方向为向下和向右。
• 将网格-并联复形扇构造为非亲吻复形的完整扇形实现，猜想其为某多面体的法扇。
• 引入晶片相交序 Ψf(λ) 作为一个分次格，其秩生成多项式等于非亲吻复形的 h-多项式。
• 将 F-三角形定义为编码非亲吻复形面计数的二元多项式，H-三角形为按高度加权的面计数，M-三角形为晶片相交序上 Möbius 函数的和。
• 利用组合解释、格论解释和几何解释，统一不同结构中三类三角形的关系。
• 通过复形中链的分解和变量替换，证明 F(x, y) = H(x+1, y+1) 的 F-与 H-三角形恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Chapoton 的 F-、H- 和 M-三角形如何推广到网格形状的非亲吻复形上？
• RQ2 在网格-卡塔兰设定下，F-、H- 和 M-三角形的组合意义、格论意义和几何意义是什么？
• RQ3 在网格-卡塔兰设定下，恒等式 F(x, y) = H(x+1, y+1) 是否成立？能否将其推广到 F-与 M-三角形之间？
• RQ4 在此框架下，非亲吻复形与非交叉复形的面之间是否存在自然的双射？
• RQ5 晶片相交序 Ψf(λ) 是否可用于定义一个精细的枚举结构，以类比考克斯eter-卡塔兰对象？

主要发现

• 在网格-卡塔兰设定下，F-三角形与 H-三角形之间的恒等式 F(x, y) = H(x+1, y+1) 成立，推广了 Chapoton 在 A 型中的结果。
• 对于 3×4 矩形形状，F-三角形是一个 7×7 的下三角矩阵，顶行为 (1,0,0,0,0,0,0)，底行为 (98,154,121,60,22,6,1)。
• 3×4 矩形的 H-三角形是一个 7×7 的矩阵，其中 h_{66}=1，h_{60}=0，h_{55}=6，h_{50}=0。
• 3×4 矩形的 M-三角形是一个 7×7 的矩阵，其中 m_{66}=1，m_{60}=0，底行为 (98,-371,548,-395,141,-22,1)。
• 猜想的恒等式 M(−x,−y/x) = (1−y)^r F((x+y)/(1−y), y/(1−y)) 在 3×4 矩形及其子图上成立，经 Sage 验证。
• 建立了非亲吻复形与非交叉复形之间面的双射，为 Santos、Stump 和 Welker 提出的一个开放问题提供了部分解决方案。