[论文解读] Envelope Words and the Reflexivity of the Return Word Sequences in the Period-doubling Sequence

Yuke Huang, Zhi-Ying Wen|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入了包络词的概念，以克服核词技术在周期加倍序列 $Δ$ 中的失效问题。证明了任意因子的返回词序列要么是 $Θ_1$，要么是 $Θ_2$，二者均为替换序列，从而确立了自反性性质。这使得返回词序列得以完全表征，并通过一种基于谱的新方法解决了组合问题，如平方与立方的检测。

ABSTRACT

We consider the infinite one-sided sequence over alphabet $\{a,b\}$ generated by the period-doubling substitution $σ(a)=ab$ and $σ(b)=aa$, denoted by $\mathbb{D}$. Let $r_p(ω)$ be the $p$-th return word of factor $ω$. The main result of this paper is twofold. (1) For any factor $ω$ in $\mathbb{D}$, the return word sequence $\{r_p(ω)\}_{p\geq1}$ is $Θ_1$ or $Θ_2$. Both of them are substitutive sequences and determined completely in this paper. (2) For any factor $ω$ in $Θ_1$ (resp. $Θ_2$), the return word sequence $\{r_p(ω)\}_{p\geq1}$ is still $Θ_1$ or $Θ_2$. We call it the reflexivity property of the return word sequence. As an application, we introduce a notion of spectrum for studying some typical combinatorial properties, such as separated, adjacent and overlapped.

研究动机与目标

• 为解决周期加倍序列中缺乏核词结构的问题，该问题阻碍了标准返回词分析。
• 通过包络词构建新框架，以表征 $Δ$ 中的返回词序列。
• 确立自反性性质：$Δ$ 中任意因子的返回词序列本身均为 $Θ_1$ 或 $Θ_2$。
• 将此结构应用于解决组合问题，如检测因子的相邻、分离或重叠出现。
• 提出一种基于谱的方法，以分析因子出现的位置，从而解决 Q2（位置特定性质）问题，而不仅限于 Q1（性质存在性）问题。

提出的方法

• 定义包络词 $E^1_m = A_m\delta_m^{-1}$ 和 $E^2_m = B_m B_{m-1} \delta_m^{-1}$，它们是捕捉返回词结构的奇长因子。
• 证明包络扩展的唯一性，以替代 $Δ$ 中失败的核分解。
• 通过替换 $\tau_1(a)=a, \tau_1(b)=bb$ 和 $\tau_2(a)=ab, \tau_2(b)=acac$ 定义两个序列 $\Theta_1 = \tau_1(\u0394)$ 和 $\Theta_2 = \tau_2(\u0394)$，并证明它们即为返回词序列。
• 利用 $\Theta_1$ 和 $\Theta_2$ 的结构，确定返回词长度：$|r_p(\omega)|$ 取决于 $\Theta_1$ 或 $\Theta_2$ 中位置 $p$ 的符号。
• 引入性质 $\mathcal{P}$ 的谱，以同时分析因子 $\omega$ 及其出现位置 $p$，从而解决 Q2（位置特定性质）问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在周期加倍序列 $\u0394$ 中，任意因子 $\omega$ 的返回词序列是什么？
• RQ2 能否将 $\u0394$ 中因子 $\omega$ 的返回词序列表征为一个替换序列？
• RQ3 能否证明 $\u0394$ 中因子 $\omega$ 的返回词序列保持相同的结构类型（即 $\Theta_1$ 或 $\Theta_2$），从而确立自反性？
• RQ4 如何利用返回词序列结构判断两个因子出现是相邻、分离还是重叠？
• RQ5 能否构建一种基于谱的方法，以同时分析因子及其出现位置，从而解决词论中的 Q2 问题？

主要发现

• 对于 $\u0394$ 中的任意因子 $\omega$，其返回词序列 $\{r_p(\omega)\}_{p \geq 1}$ 要么是 $\Theta_1$，要么是 $\Theta_2$，二者均为通过显式替换定义的替换序列。
• 在 $\Theta_1$ 或 $\Theta_2$ 中，任意因子 $\omega$ 的返回词序列再次为 $\Theta_1$ 或 $\Theta_2$，从而确立了返回词序列的自反性。
• 第 $p$ 个返回词 $|r_p(\omega)|$ 的长度由 $\Theta_1$ 或 $\Theta_2$ 中位置 $p$ 的符号决定：若 $\Theta_1[p] = a$，则 $|r_p(\omega)| = 2^m$；若 $\Theta_1[p] = b$，则 $|r_p(\omega)| = 2^{m-1}$；$\Theta_2$ 的情况类似。
• 分离性质的谱被完全表征：$(\omega,p) \in \mathcal{P}_1$（分离）当且仅当 $\text{Env}(\omega) = E^1_m$ 且 $\Theta_1[p] = a$，或 $\text{Env}(\omega) = E^1_m$，$\Theta_1[p] = b$ 且 $|\omega| < 2^{m-1}$，或 $\text{Env}(\omega) = E^2_m$ 且 $\Theta_2[p] \neq a$。
• 相邻出现的谱成立当且仅当 $\text{Env}(\omega) = E^1_m$ 且 $|\omega| = 2^{m-1}$。
• 重叠出现的谱成立当 $\text{Env}(\omega) = E^1_m$ 且 $|\omega| > 2^{m-1}$，或 $\text{Env}(\omega) = E^2_m$ 且 $\Theta_2[p] = a$。