[论文解读] Envelopes of Horospheres and Weingarten Surfaces in Hyperbolic 3-Space

Charles L. Epstein|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2024

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 14

一句话总结

本文提出在双曲空间中将超曲面表示为 horosphere 的包络，并在该设定中推导基本微分几何；分析平行（Weingarten-type）流，并证明在 H^3 中给定无穷边界条件的 α-Weingarten 曲面存在性与正则性，将它们与共形映射以及 Schwarzian-type 不变量联系起来。

ABSTRACT

We derive basic differential geometric formulae for surfaces in hyperbolic space represented as envelopes of horospheres. The dual notion of parallel hypersurfaces is also studied. The representation is applied to prove existence and regularity theorems for Weingarten surfaces in H^3, which satisfy (1-a)K = a(2-H), for an a < 0, and have a specified boundary curve at infinity. These surfaces are shown to be closely connected to conformal mappings of domains in S^2 into the unit disk and provide Riemannian interpretations for some conformal invariants associated to such mappings. This paper was originally written in 1984, before I learned to use TeX, and was typed by one of the secretaries in the Princeton Math Department. It was more or less, my first original work after my dissertation. For some reason, I was not able to get this paper published in a timely manner. The results and perspective in this paper have proved to be useful to a variety of people, some of whom asked me to render the article into TeX and post it to the arXiv. I had been seriously thinking about doing this, when Martin Bridgeman sent me a transcription of my original article into TeX. I am extremely grateful to him for the effort he has put into this project. The paper is now formatted in a more or less modern AMS-article style, but for lots of additional punctuation, a few corrections and some minor stylistic changes, the content has been largely reproduced as it originally was. Remarks about the 'state-of-the-art' in hyperbolic geometry are obviously way out of date, as there has been enormous progress in many aspects of this still rich subject.

研究动机与目标

• 动机化并形式化将浸入式高维曲面在双曲空间中表示为 horosphere 的包络。
• 为此类包络及其平行（Weingarten-type）曲面发展显式的微分几何公式。
• 建立在 H^3 中具有规定理想边界的 α-Weingarten 曲面的存在性与正则性结果。
• 将 α-Weingarten 曲面与 S^2 中区域的共形映射到单位圆盘的关系联系起来，并从几何角度解释共形不变量。

提出的方法

• 将高维曲面表示为 horospheres H(θ,ρ(θ)) 的外部包络，并推导出 Rρ(θ) 作为包络参数化（式（2.5））。
• 研究由单位法向量生成的平行流 Σt，并证明 Σt(ρ)=Σ(ρ+t)（定理 2.1）.
• 在平行流下推导第一/第二基本形式的演化方程：dgij/dt=−2Πij, dΠij/dt=ΠilΠlj−δij, dΠij/dt=4Πij（定理 3.1）.
• 在流动过程中得到解耦的主曲率常微分方程：dk_i/dt=k_i^2−1（推论 3.2）.
• 刻画 H^{n+1} 中的焦点集与凸性概念，并将其应用于带有规定渐近边界的 α-Weingarten 曲面的 Dirichlet 问题（α<0）；将其与共形映射和 Schwarzian-type 不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双曲空间中，浸入式高维曲面是否可以表示为 horosphere 的包络，及由此产生的几何量有哪些？
• RQ2 在平行流下几何数据（第一/第二基本形式、主曲率）的演化定律是什么，它们如何影响奇点的形成？
• RQ3 在无限远带有规定边界数据的情况下，满足 (1−α)K=α(2−H)（α<0）的 α-Weingarten 曲面存在吗？解的正则性如何？
• RQ4 α-Weingarten 曲面与 S^2 中区域的共形映射到单位圆盘之间的联系是什么？有哪些共形不变量具有黎曼几何解释？

主要发现

• 获得了在 H^{n+1} 中曲面的一个具体包络表示 Rρ(θ)，将 horosphere 与表面几何联系起来。
• 曲面的平行流对应于将 ρ 通过 t 进行平移：Σt(ρ)=Σ(ρ+t)（定理 2.1）。
• 在平行流下，第一/第二基本形式以线性/半线性解耦方程演化，主曲率满足独立的 Riccati 型常微分方程 dk_i/dt = k_i^2 − 1（推论 3.2）。
• 给出沿平行流的焦点集和奇点的判据，当 det g_{ij}(t) 消失时光滑性恰好失败。
• α-Weingarten Dirich点问题（α<0）与共形映射 S^2→D 相关，并为相关的共形不变量提供黎曼几何解释（Schwarzian-type 结构）。
• 研究了双曲空间中的凸性概念；主曲率受控的完备曲面无自交（定理 3.4）。