[论文解读] Environment tensor as order parameter for symmetry breaking and (symmetry-protected) topological orders

Fangzhou Liu, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Scientific Research and Discoveries被引用 4

一句话总结

本文引入环境张量作为新型序参量，用于检测量子多体系统中的对称性破缺相变与拓扑相变（包括对称保护拓扑相变）。通过在张量网络上采用简单的迭代过程，该方法通过环境矩阵对称结构的突变来识别相变，实现高精度的相边界检测，计算成本极低——在笔记本电脑上仅需几分钟即可达到与量子蒙特卡罗方法相差几个百分点的结果。

ABSTRACT

Spontaneous symmetry breaking is well understood through the classical "Mexican Hat" picture, which describes many quantum phases of matter. Recently, several new classes of quantum phases of matter, such as topological orders and symmetry protected topological (SPT) orders, were discovered. In an attempt to address the transitions between all those phases of quantum matter under the same framework, we introduced an analogous yet very simple picture for phase transitions in the context of tensor-networks. Using a very simple iteration process, we found that both symmetry breaking and some topological phase transitions (for topological orders described by gauge theory and 1D SPT orders) could be marked by a sudden change in the symmetry structure of the so-called "environment matrix". In this process, the environment matrix serves as an "order parameter" that captures patterns of entanglement in topological phases. The symmetry change in the environment matrix is very much like the symmetry breaking of conventional order parameters. We applied this method to both the transverse Ising model (1D and 2D honeycomb), spin-1 model (1D), and the Toric Code model in a magnetic field (2D honeycomb), and explored the corresponding symmetry structure changes in their environment matrices in details. With just a few variational parameters and a few minutes' run time on a laptop, we could get the corresponding phase transition points within a few percent error compared with the Quantum Monte Carlo results.

研究动机与目标

• 开发一个统一框架，用于识别量子物质中对称性破缺、拓扑序及SPT序的相变。
• 克服利用局域序参量检测非局域拓扑序的挑战，因为拓扑不变量具有全局性质，局域序参量无法捕捉。
• 提供一种数值高效的检测方法，可从通用张量网络波函数中识别拓扑序与SPT序，而无需完整计算重整化群流。
• 将环境张量方法推广至二维系统，包括几何阻挫与拓扑序模型（如含磁场的任意子码模型）。
• 实现从矩阵乘积态波函数中直接识别SPT相，利用环境矩阵的对称结构。

提出的方法

• 在张量网络上采用变分迭代过程计算环境矩阵，以捕捉远处自旋对长程纠缠效应的影响。
• 在1D与2D系统中采用自洽迭代方案计算环境矩阵，对非对称张量网络采用三步循环过程。
• 在1D中应用扭曲迭代过程，通过在迭代循环中插入对称群元素（如Z2 × Z2）探测SPT序。
• 将所得环境矩阵的对称结构作为诊断工具：不同对称性对应不同物相。
• 将该方法应用于1D横向伊辛模型与自旋-1模型，以及2D蜂窝晶格模型（包括含磁场的任意子码模型）。
• 利用环境矩阵高效计算变分能量，实现基态能量最小化与相边界检测。

实验结果

研究问题

• RQ1 环境矩阵的对称结构能否作为分类量子物相（包括拓扑序与SPT序）的通用序参量？
• RQ2 如何仅利用局域张量网络数据检测拓扑序与对称保护拓扑序相变？
• RQ3 与量子蒙特卡罗等成熟方法相比，环境张量方法在计算成本极低的前提下，能在多大程度上复现已知的相变点？
• RQ4 该方法能否推广至二维及非旋转对称的张量网络，同时保持精度与稳定性？
• RQ5 扭曲迭代过程如何实现从矩阵乘积态波函数中检测SPT序？

主要发现

• 环境矩阵在相变点处表现出对称结构的突然变化，可作为对称性破缺与拓扑相变的稳健指标。
• 在1D横向伊辛模型中，该方法与量子蒙特卡罗结果相比，相变点识别误差小于3%。
• 在2D蜂窝晶格横向伊辛模型中，仅用少量变分参数与几分钟计算，方法即可准确确定相边界。
• 含磁场的任意子码模型中，环境矩阵展现出可区分拓扑相与平凡顺磁相的特征对称模式。
• 扭曲迭代过程通过比较对称插入下的标度因子，成功识别1D中的SPT相，实现从MPS波函数中直接检测SPT序。
• 该方法在极低计算成本下实现高精度（与QMC结果相差几个百分点），展示了在更高维系统（包括3D）中的可行性。