[论文解读] Envy, Multi Envy, and Revenue Maximization

Amos Fiat, Amiram Wingarten|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文研究了在无供应限制和高速公路容量受限条件下，具有嫉妒自由与多嫉妒自由约束的组合拍卖中的收益最大化定价问题。研究证明，在无供应限制和多嫉妒自由约束下，嫉妒自由定价可在多项式时间内求解；在边容量为常数的高速公路设置下，提出了多嫉妒自由收益最大化的完全多项式时间近似方案（FPTAS）。主要贡献在于，针对结构化设置下的多嫉妒自由收益最大化问题，提出了一个完全多项式时间近似方案。

ABSTRACT

We study the envy free pricing problem faced by a seller who wishes to maximize revenue by setting prices for bundles of items. If there is an unlimited supply of items and agents are single minded then we show that finding the revenue maximizing envy free allocation/pricing can be solved in polynomial time by reducing it to an instance of weighted independent set on a perfect graph. We define an allocation/pricing as extit{multi envy free} if no agent wishes to replace her allocation with the union of the allocations of some set of other agents and her price with the sum of their prices. We show that it is extit{coNP}-hard to decide if a given allocation/pricing is multi envy free. We also show that revenue maximization multi envy free allocation/pricing is extit{APX} hard. Furthermore, we give efficient algorithms and hardness results for various variants of the highway problem.

研究动机与目标

• 研究在单一需求投标人条件下，组合拍卖中嫉妒自由与多嫉妒自由约束下的收益最大化问题。
• 分析判断给定分配/定价是否为多嫉妒自由的计算复杂度。
• 为结构化设置下的收益最大化嫉妒自由与多嫉妒自由定价问题开发高效算法，特别是具有容量限制的高速公路问题。
• 建立多嫉妒自由收益最大化问题的近似保证与难解性结果，包括APX难与coNP难。

提出的方法

• 将无供应限制下单一需求投标人条件下的嫉妒自由定价问题，转化为完美图上的加权独立集问题，可在多项式时间内求解。
• 引入多嫉妒自由性作为强于嫉妒自由性的条件，要求在捆绑包并集上实现价格单调性。
• 证明验证多嫉妒自由性的问题是coNP难的，且收益最大化的多嫉妒自由定价问题是APX难的。
• 为边容量为常数的高速公路问题设计动态规划算法，利用多项式规模的有向无环图（DAG）来建模有效分配与定价。
• 通过估值与价格的舍入技术构造多嫉妒自由收益最大化的FPTAS，采用价格缩放方法 $ K = \epsilon B / (m(n+1)) $。
• 采用两阶段舍入过程：首先缩小价格，然后通过最小覆盖捆绑包求和来修正非法价格，以保持多嫉妒自由性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当物品供应无限且投标人具有单一需求时，能否在多项式时间内计算收益最大化的嫉妒自由定价？
• RQ2 能否高效验证给定的分配/定价是否为多嫉妒自由？该问题的计算复杂度如何？
• RQ3 收益最大化的多嫉妒自由定价问题的近似复杂度如何？在结构约束下能否构造出FPTAS？
• RQ4 在高速公路问题设置下，物品定价、多嫉妒自由子集定价与嫉妒自由子集定价之间的收益差距如何表现？
• RQ5 能否为具有有界边容量的高速公路模型中的多嫉妒自由收益最大化问题设计FPTAS？

主要发现

• 对于无供应限制下具有单一需求投标人的收益最大化嫉妒自由定价问题，可转化为完美图上的加权独立集问题，并在多项式时间内求解。
• 验证多嫉妒自由性是coNP难的，尽管多嫉妒自由解可被近似至 $ O(\log m + \log n) $ 因子以内。
• 收益最大化的多嫉妒自由定价问题是APX难的，表明常数因子近似可能不存在。
• 对于具有有界边容量的高速公路问题，收益最大化的多嫉妒自由定价问题存在FPTAS，可在输入规模和 $ 1/\epsilon $ 的多项式时间内实现 $ (1 - \epsilon) $-近似。
• 通过价格舍入构造FPTAS：将估值按 $ K = \epsilon B / (m(n+1)) $ 缩放，然后修正价格以保持可行性与多嫉妒自由性。
• FPTAS保证舍入解的收益在最优收益的 $ (1 - \epsilon) $ 以内，且存在从舍入实例到原始实例的多项式时间转换。