[论文解读] $\epsilon$-Monotone Fourier Methods for Optimal Stochastic Control in Finance

Peter Forsyth, George Labahn|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 1

一句话总结

本论文提出了一种用于金融最优随机控制的ε-单调傅里叶方法，通过将格林函数投影到线性基函数上，确保在用户定义的容差范围内保持单调性。该方法在保持标准傅里叶格式计算效率的同时，保证了单调性、ℓ∞-稳定性以及离散比较原理，从而可在涉及值函数比较的控制问题中实现可靠应用。

ABSTRACT

Stochastic control problems in finance often involve complex controls at discrete times. As a result numerically solving such problems, for example using methods based on partial differential or integro-differential equations, inevitably give rise to low order accuracy, usually at most second order. In many cases one can make use of Fourier methods to efficiently advance solutions between control monitoring dates and then apply numerical optimization methods across decision times. However Fourier methods are not monotone and as a result give rise to possible violations of arbitrage inequalities. This is problematic in the context of control problems, where the control is determined by comparing value functions. In this paper we give a preprocessing step for Fourier methods which involves projecting the Green's function onto the set of linear basis functions. The resulting algorithm is guaranteed to be monotone (to within a tolerance), $\ell_\infty$-stable and satisfies an $\epsilon$-discrete comparison principle. In addition the algorithm has the same complexity per step as a standard Fourier method while at the same time having second order accuracy for smooth problems.

研究动机与目标

• 解决现有傅里叶格式（FST/CONV/COS）中缺乏单调性的问题，此类问题可能在最优控制问题中违反套利不等式。
• 开发一种预处理步骤，将格林函数投影到线性基函数上，确保在用户指定容差范围内保持单调性。
• 在每时间步的计算复杂度与标准傅里叶方法保持一致的同时，实现光滑问题的二阶精度。
• 实现金融领域最优随机控制问题的稳健且可靠的数值求解，特别是涉及离散决策时刻和值函数比较的问题。

提出的方法

• 在物理空间中对格林函数进行预处理，通过截断傅里叶级数将其投影到一组线性基函数上。
• 通过带截断控制的离散傅里叶变换计算投影后的格林函数，确保非负性与有界误差。
• 应用带有ε容差的离散比较原理，以保证所得到格式的单调性。
• 在傅里叶时间推进框架中使用修改后的格林函数，以在控制监控日期之间推进解。
• 将单调格式与数值优化相结合，以在每个决策点确定最优控制。
• 通过收敛性与单调性测试验证该方法，包括截断级数的误差界与稳定性检查。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不牺牲计算效率的前提下，使傅里叶方法在用户指定容差范围内保持单调性，以适用于最优随机控制问题？
• RQ2 将格林函数投影到线性基函数上，对基于傅里叶的时间推进格式的稳定性和精度有何影响？
• RQ3 所提出的预处理步骤在多大程度上保持了标准傅里叶方法在光滑问题中的二阶收敛速率？
• RQ4 所得到的格式是否满足ε-离散比较原理，从而确保在值函数比较中的可靠性？
• RQ5 该方法能否以最小实现开销高效集成到现有的FST/CONV软件中？

主要发现

• 所提出的预处理步骤确保了所得傅里叶格式在用户定义容差范围内保持单调性，从而防止套利不等式的违反。
• 该方法实现了ℓ∞-稳定性，并满足ε-离散比较原理，这对于可靠最优控制计算至关重要。
• 该算法在每时间步的计算复杂度与标准FST/CONV方法保持一致，从而保持了效率。
• 对于光滑问题，该方法保持了二阶精度，与经典有限差分格式的收敛速率一致。
• 数值测试表明，对于截断参数α的中等取值（例如α = 2, 4），单调性与精度条件在舍入误差范围内得到满足。
• 投影格林函数的截断傅里叶级数误差随截断增加呈指数衰减，支持方法的收敛性与鲁棒性。