[论文解读] Epstein-Zin Utility Maximization on a Random Horizon

Joshua Aurand, Yu‐Jui Huang|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 71被引用 6

一句话总结

本文通过带超线性增长的倒向随机微分方程（BSDEs）解决了在无界随机Horizon下Epstein-Zin偏好下的消费-投资问题。引入了一个额外的随机过程$ \hat{Z}$以捕捉随机退出时间的影响，表明与固定Horizon模型相比，此类Horizon会显著改变最优策略，尤其是在跨期替代弹性（EIS）的敏感性方面。

ABSTRACT

This paper solves the consumption-investment problem under Epstein-Zin preferences on a random horizon. In an incomplete market, we take the random horizon to be a stopping time adapted to the market filtration, generated by all observable, but not necessarily tradable, state processes. Contrary to prior studies, we do not impose any fixed upper bound for the random horizon, allowing for truly unbounded ones. Focusing on the empirically relevant case where the risk aversion and the elasticity of intertemporal substitution are both larger than one, we characterize the optimal consumption and investment strategies using backward stochastic differential equations with superlinear growth on unbounded random horizons. This characterization, compared with the classical fixed-horizon result, involves an additional stochastic process that serves to capture the randomness of the horizon. As demonstrated in two concrete examples, changing from a fixed horizon to a random one drastically alters the optimal strategies.

研究动机与目标

• 解决在规划Horizon为随机而非固定时，Epstein-Zin偏好下最优消费-投资问题的空白。
• 放松随机Horizon有界的假设，允许在不完全市场中存在真正的无界停止时间。
• 利用在无界随机Horizon上具有非一致超线性增长的倒向随机微分方程（BSDEs）刻画最优策略。
• 证明与固定Horizon基准相比，随机Horizon会显著改变最优消费和投资策略。
• 将现有BSDE理论扩展至处理具有非一致超线性增长的无界随机Horizon，此前结果要求有界Horizon或一致增长。

提出的方法

• 在不完全市场中构建问题，其中随机Horizon$\tau$是适应于由可观测但未必可交易的状态过程生成的市场过滤的停时。
• 采用截断方法：在有限区间$[0,n]$上定义一系列BSDE，以处理无界Horizon，利用已有固定Horizon下具有超线性增长的BSDE结果。
• 通过证明截断解序列在完备的随机过程空间中构成柯西序列，证明随机Horizon BSDE解的存在性。
• 引入一个新的随机过程$\hat{Z}$，以捕捉随机Horizon对最优策略的影响，该影响在固定Horizon设定中不存在。
• 将该方法应用于两个具体模型：企业的随机违约时间与Heston随机波动率模型，以说明策略的改变。
• 使用傅里叶级数与Riccati方程求解Heston模型中的生存概率，从而验证$\tau$的指数矩的矩条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在允许真正无界的随机Horizon下，Epstein-Zin偏好下$\gamma, \psi > 1$时，最优消费与投资策略如何变化？
• RQ2 在随机Horizon上刻画最优策略需要何种新的随机分量？它与固定Horizon情形有何不同？
• RQ3 当退出时间是随机而非固定时，最优投资比例对跨期替代弹性（EIS）的变化如何响应？
• RQ4 在市场不完全且存在随机退出时间的情况下，最优策略能否通过具有非一致超线性增长的倒向随机微分方程表达？
• RQ5 在$\tau$无界的随机Horizon设定下，哪些条件能确保指数矩$\mathbb{E}[e^{c\tau}]$对$c < c^*$的有限性？

主要发现

• 在随机Horizon下的最优消费与投资策略涉及一个额外的$\hat{Z}$过程，该过程在固定Horizon情况下不存在，用于捕捉随机退出时间的动态影响。
• 在随机违约时间模型中，与固定Horizon情况相比，最优消费与投资被降低，且随着企业接近违约，降低幅度更加显著。
• 在随机Horizon下，最优投资比例随跨期替代弹性（EIS）$\psi$的增加而上升，这与固定Horizon情况下通常不敏感或呈下降趋势的情况相反。
• 在Heston随机波动率模型中，当退出时间随机时，最优投资比例成为市场状态（波动率与价格水平）的函数，而非常数。
• 通过截断Horizon并证明解序列的收敛性，本文建立了具有非一致超线性增长的随机HorizonBSDE解的存在性。
• Heston模型中的生存概率通过包含Riccati方程解的傅里叶级数表示，从而证明了$\mathbb{E}[e^{c\tau}] < ∞$对$c < c^*$成立，这对效用过程的适定性至关重要。