[论文解读] Equality of hemisphere soft functions for $e^+e^-$, DIS and $pp$ collisions at $\mathcal{O}(α_s^2)$

Daekyoung Kang, Ou Z. Labun+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

High-Energy Particle Collisions Research被引用 9

一句话总结

该论文证明，在微扰QCD的$\mathcal{O}(\alpha_s^2)$阶下，$e^+e^-$、深度非弹性散射（DIS）和$pp$碰撞中的半体软函数是相同的，尽管入射与出射粒子的eikonal传播子规范不同。这种相等性源于相反$i\epsilon$符号导致的虚部在求和共轭复数图时相互抵消，从而得到与$e^+e^-$情形相同的实部软函数，使得DIS和Drell-Yan过程能够实现N$^3$LL重求和。

ABSTRACT

We present a simple observation about soft amplitudes and soft functions appearing in factorizable cross sections in $ee$, $ep$, and $pp$ collisions that has not clearly been made in previous literature, namely, that the hemisphere soft functions that appear in event shape distributions in $e^+e^- o$ dijets, deep inelastic scattering (DIS), and in Drell-Yan (DY) processes are equal in perturbation theory up to $\mathcal{O}(α_s^2)$, even though individual amplitudes may have opposite sign imaginary parts due to changing complex pole prescriptions in eikonal propagators for incoming vs. outgoing lines. We also explore potential generalizations of this observation to soft functions for other observables or with more jets in the final state.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于由于eikonal传播子中出射与入射部分子的复极点规范相反，$e^+e^-$、DIS和$pp$碰撞中的软函数在$\mathcal{O}(\alpha_s^2)$阶是否不同的疑问。
• 确立不同对撞机过程之间半体软函数的普遍性，这对于实现事件形状重求和的N$^3$LL精度至关重要。
• 提供严格的微扰计算，表明不同$i\epsilon$规范导致的虚部在求和共轭复数图时相互抵消，仅留下与$e^+e^-$情形相同的实部软函数。
• 使高精度QCD计算——此前仅限于$e^+e^-$——能够通过使用相同的软函数扩展到DIS和Drell-Yan过程。

提出的方法

• 使用软-喷流有效理论（SCET）和入射束流方向的威尔逊线，计算DIS和$pp$碰撞中的$\mathcal{O}(\alpha_s^2)$软函数。
• 应用主值和$i\epsilon$规范以处理eikonal传播子中的奇点，区分出射（如$e^+e^-$）与入射（如DIS、$pp$）部分子。
• 采用含参数$\eta$的对称正则化方案，处理$q^+ = k^+$处的奇点，确保奇点处理的一致性。
• 通过费曼参数化和维度正则化计算圈图积分，同时计算振幅的实部与虚部。
• 将振幅与其共轭复数相加，使虚部相互抵消，从而提取实部软函数，结果与$e^+e^-$情形一致。
• 通过恢复已知的一圈软电流并确认与现有$e^+e^-$软函数结果在$\mathcal{O}(\alpha_s^2)$阶的一致性，验证了结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由于eikonal传播子中$i\epsilon$符号相反，$e^+e^-$、DIS和$pp$碰撞中的半体软函数在$\mathcal{O}(\alpha_s^2)$阶是否不同？
• RQ2 在求和共轭复数图时，不同复极点规范导致的虚部是否能够相互抵消，从而得到相同的实部软函数？
• RQ3 在$\mathcal{O}(\alpha_s^2)$阶下，DIS和Drell-Yan过程的软函数是否与$e^+e^-$碰撞中的软函数相同，从而实现普遍重求和？
• RQ4 $i\epsilon$规范在入射与出射部分子的软威尔逊线中，在微扰软函数中起什么作用？

主要发现

• 尽管eikonal传播子中$i\epsilon$规范不同，$e^+e^-$、DIS和$pp$碰撞的半体软函数在$\mathcal{O}(\alpha_s^2)$阶下完全相同。
• 相反$i\epsilon$符号导致的虚部在求和共轭复数图时相互抵消，仅留下实部，该实部与$e^+e^-$软函数一致。
• DIS和$pp$碰撞中计算得到的软函数重现了已知的$\mathcal{O}(\alpha_s^2)$阶$e^+e^-$结果，包括$\delta(\ell_1)/\ell_2^{1+4\epsilon}$和$\delta(\ell_2)/\ell_1^{1+4\epsilon}$项。
• 软函数的实部包含$\mathcal{O}(\alpha_s^2)$校正项：$-\frac{2}{\epsilon^2} + \pi^2 + \frac{16\zeta_3}{3}\epsilon - \frac{\pi^4}{60}\epsilon^2$，与$e^+e^-$情形完全一致。
• 虚部与$\pm i\pi\left(-\frac{2}{\epsilon} + \cdots\right)$成正比，在与共轭复数相加后完全抵消，证实了普遍性。
• 该结果使得DIS和Drell-Yan事件形状的N$^3$LL重求和可以使用相同的软函数，填补了高精度QCD预测中缺失的关键环节。