[论文解读] Equality of the Jellium and Uniform Electron Gas next-order asymptotic terms for Coulomb and Riesz potentials

Codina Cotar, Mircea Petrache|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 48被引用 11

一句话总结

本论文在维度 $d \in [3, d)$ 下，针对 Riesz 和库仑相互作用的反幂律势，确立了 Jellium 模型与均匀电子气模型在能量展开中下一阶渐近项的相等性，证实了物理学中长期存在的猜想（尤其在 $d=3$ 库仑情形下），并严格验证了关于 Lieb-Oxford 常数的预测以及该二阶常数在 $s$ 上的连续性。该结果即使在两个模型的最小化器可能不同时依然成立。

ABSTRACT

We consider two sharp next-order asymptotics problems, namely the asymptotics for the minimum energy for optimal point configurations and the asymptotics for the many-marginals Optimal Transport, in both cases with Riesz costs with inverse power-law long range interactions. The first problem describes the ground state of a Coulomb or Riesz gas, while the second appears as a semiclassical limit of the Density Functional Theory energy modelling a quantum version of the same system. Recently the second-order term in these expansions was precisely described, and corresponds respectively to a Jellium and to a Uniform Electron Gas model. The present work shows that for inverse-power-law interactions with power $s\in [d-2,d)$ in $d$ dimensions, the two problems have the same minimum value asymptotically. For the Coulomb case in $d=3$, our result verifies the physicists' long-standing conjecture regarding the equality of the second-order terms for these two problems. Furthermore, our work implies that, whereas minimum values are equal, the minimizers may be different. Moreover, provided that the crystallization hypothesis in $d=3$ holds, which is analogous to Abrikosov's conjecture in $d=2$, then our result verifies the physicists' conjectured $\approx 1.4442$ lower bound on the famous Lieb-Oxford constant. Our work also rigorously confirms some of the predictions formulated by physicists, regarding the optimal value of the Uniform Electron Gas second-order asymptotic term. We also show that on the whole range $s\in(0,d)$, the Uniform Electron Gas second-order constant is continuous in $s$.

研究动机与目标

• 解决长期存在的猜想：在三维空间中，对于库仑相互作用，Jellium 与均匀电子气模型的二阶渐近项是否相等。
• 建立两个不同物理模型中下一阶能量项的渐近相等性：一个是在束缚势下的最优点构型（Jellium），另一个是多边缘最优传输（均匀电子气）。
• 在 $d=3$ 的结晶化假定下，利用二阶项的相等性，严格确认物理学家预测的 Lieb-Oxford 常数约为 1.4442 的值。
• 证明在参数 $s \in (0,d)$ 的 Riesz 相互作用下，二阶常数在 $s$ 上的连续性。

提出的方法

• 分析两个能量最小化问题在 $N \to \infty$ 时的渐近行为：一个具有束缚势（Jellium），另一个具有边缘约束（均匀电子气）。
• 应用多尺度分解与 Fefferman-Gregg 型能量分解，将 Riesz 势 $|x|^{-s}$（$s \in [d-2, d)$）中的长程与短程贡献分离。
• 通过使用正则化势 $c_r$ 的微扰论证，控制误差项，并建立两个模型之间能量差的界。
• 利用正则化势与原始势之差的正定性与正性，通过 Jellium 能量泛函的结构，建立统一的下界论证。
• 应用最小 Jellium 能量的几乎次可加性性质，控制二阶项的标度行为。
• 利用多边缘最优传输与密度泛函理论中 Hohenberg-Kohn 泛函之间的半经典极限联系，将两个模型关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $d$ 维空间中，对于 $s \in [d-2, d)$ 的反幂律相互作用，Jellium 与均匀电子气模型的二阶渐近项是否一致？
• RQ2 在 $d=3$ 的结晶化假定下，物理学家预测的 Lieb-Oxford 常数约为 1.4442 的值是否可被严格确认？
• RQ3 在 $s \in (0,d)$ 范围内，均匀电子气模型中的二阶常数是否随相互作用幂次 $s$ 连续变化？
• RQ4 即使两个模型的最小化器可能不同，是否仍可建立下一阶项的渐近相等性？
• RQ5 对 [14] 和 [53] 中关于均匀电子气二阶项最优值的预测，是否在数学上得到验证？

主要发现

• 在 $d$ 维空间中，对于所有 $s \in [d-2, d)$，Jellium 与均匀电子气模型的下一阶渐近项渐近相等，证实了数学物理中的一个关键猜想。
• 在 $d=3$ 的库仑情形（$s=1$）下，二阶项的相等性被严格确立，验证了物理学文献中长期存在的猜想。
• 在 $d=3$ 的结晶化假定下，该结果确认了 Lieb-Oxford 常数的预测下界约为 1.4442。
• 作为相互作用幂次的函数，均匀电子气模型中的二阶常数在区间 $s \in (0,d)$ 上连续。
• 尽管两个模型的下一阶能量项渐近相等，其最小化器可能不同，表明其基态结构存在本质差异。
• 本工作严格确认了先前 [14] 和 [53] 关于均匀电子气模型中二阶项取值的预测。