[论文解读] Equating two maximum degrees

Yair Caro, Josef Lauri+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文解决了Caro和Yuster（2017年）关于图中最大度数相等化的问题，通过证明在诱导子图中确保至少两个顶点达到最大度数所需删除顶点数的紧致上界，解决了该问题。对于任意包含 $ n \geq 4 $ 个顶点的图，最多需要删除 $ \lceil (-3 + \sqrt{8n - 15})/2 \rceil $ 个顶点；对于最大度数 $ \Delta $，该上界为 $ \lceil (-3 + \sqrt{8\Delta + 1})/2 \rceil $，且两者均为紧致界。本文还给出了 $ \Delta = 0,1,2 $ 时 $ g(\Delta,k) $ 和 $ h(\Delta,k) $ 的精确值，并提供了计算 $ f(G) $ 的多项式时间算法，从而解决了关于 $ f(n,k) $ 函数的长期悬而未决的猜想。

ABSTRACT

Given a graph $G$, we would like to find (if it exists) the largest induced subgraph $H$ in which there are at least $k$ vertices realizing the maximum degree of $H$. This problem was first posed by Caro and Yuster. They proved, for example, that for every graph $G$ on $n$ vertices we can guarantee, for $k = 2$, such an induced subgraph $H$ by deleting at most $2\sqrt{n}$ vertices, but the question if $2\sqrt{n}$ is best possible remains open. Among the results obtained in this paper we prove that: 1. For every graph $G$ on $n \geq 4$ vertices we can delete at most $\lceil \frac{- 3 + \sqrt{ 8n- 15}}{2 } ceil$ vertices to get an induced subgraph $H$ with at least two vertices realizing $Δ(H)$, and this bound is sharp, solving the problems left open by Caro and Yuster. 2.For every graph $G$ with maximum degree $Δ\geq 1$ we can delete at most $\lceil \frac{ -3 + \sqrt{8Δ+1}}{2 } ceil$ vertices to get an induced subgraph $H$ with at least two vertices realizing $Δ(H)$, and this bound is sharp. 3. Every graph $G$ with $Δ(G) \leq 2$ and least $2k - 1$ vertices (respectively $2k - 2$ vertices if k is even) contains an induced subgraph $H$ in which at least $k$ vertices realise $Δ(H)$, and these bound are sharp.

研究动机与目标

• 解决Caro和Yuster提出的猜想，即 $ 2\sqrt{n} $ 是 $ f(n,2) $ 的最佳可能上界这一开放问题。
• 以 $ n $ 和 $ \Delta $ 为参数，确定为确保诱导子图中至少有两个顶点实现最大度数，必须删除的顶点数的精确最大值。
• 计算小 $ \Delta $（特别是 $ \Delta = 0,1,2 $）时 $ g(\Delta,k) $ 和 $ h(\Delta,k) $ 的精确值，并对森林图中的 $ f_{k}(G) $ 建立紧致界。
• 证明 $ f(G) $（即为使两个最大度数相等而需删除的最少顶点数）可在 $ O(n^2) $ 时间内计算，从而解决其时间复杂度问题。
• 研究 $ k $-可行图的结构，为 $ f_{k}(G) $ 建立紧致界，尤其针对 $ k \geq 3 $ 的情况，并探讨 $ f(n,k) = O(\sqrt{n}) $ 的猜想是否成立。

提出的方法

• 作者定义 $ f_k(G) $ 为从图 $ G $ 中删除最少顶点数，使得所得诱导子图 $ H $ 中至少有 $ k $ 个顶点达到 $ \Delta(H) $，并引入函数 $ f(n,k) $ 和 $ g(\Delta,k) $，分别表示在 $ n $ 个顶点和最大度数为 $ \Delta $ 的图中该值的最大值。
• 引入了 2-等价集合 $ B $ 的概念，即删除该顶点集后，诱导子图中至少有两个顶点达到最大度数。
• 通过度数差 $ \text{diff}(G) = d_1 - d_2 $ 来界定 $ f(G) $，证明 $ f(G) \leq \text{diff}(G) $，并进一步证明：若 $ f(G) < \text{diff}(G) $，则唯一最大度数顶点必属于每一个极小 2-等价集合。
• 通过极值图构造和拉姆齐型论证，推导出紧致上界，特别针对 $ f(n,2) $ 和 $ g(\Delta,2) $，证明 $ f(n,2) \leq \lceil (-3 + \sqrt{8n - 15})/2 \rceil $ 和 $ g(\Delta,2) \leq \lceil (-3 + \sqrt{8\Delta + 1})/2 \rceil $，且两者均为紧致界。
• 对于森林图，作者采用星形和路径的结构分解，应用控制理论（Ore 定理），并结合奇偶性和计数论证来界定 $ f_k(F) $，证明 $ f_k(F) \leq (2k-1)n^{1/3} $，并为 $ \Delta \leq 2 $ 图中的 $ k $-可行性提供紧致界。
• 通过构造性证明和对顶点度数及连通分量结构的案例分析，计算出 $ \Delta = 0,1,2 $ 时 $ g(\Delta,k) $ 和 $ h(\Delta,k) $ 的精确值。

实验结果

研究问题

• RQ1 Caro 和 Yuster 所猜想的 $ f(n,2) $ 的上界 $ 2\sqrt{n} $ 是否为最佳可能？
• RQ2 能否将 $ f(n,2) $ 的精确值表示为 $ n $ 的函数，且该界是否为紧致？
• RQ3 对于最大度数为 $ \Delta $ 的图，$ g(\Delta,2) $（即实现两个最大度数相等所需删除的顶点数最大值）的精确值是多少？该上界是否为紧致？
• RQ4 对于最大度数 $ \Delta \leq 2 $ 的图，$ g(\Delta,k) $ 和 $ h(\Delta,k) $ 的精确值是什么？非 $ k $-可行图中顶点数的紧致界是什么？
• RQ5 对于 $ k \geq 3 $，$ f_k(G) $ 是否可在多项式时间内计算？$ f(n,k) = O(\sqrt{n}) $ 是否对所有 $ k \geq 4 $ 成立？

主要发现

• 本文证明：对于任意包含 $ n \geq 4 $ 个顶点的图 $ G $，最多只需删除 $ \lceil (-3 + \sqrt{8n - 15})/2 \rceil $ 个顶点，即可获得一个诱导子图 $ H $，使得 $ H $ 中至少有两个顶点达到 $ \Delta(H) $，且该上界为紧致。
• 对于任意最大度数 $ \Delta \geq 1 $ 的图 $ G $，最多只需删除 $ \lceil (-3 + \sqrt{8\Delta + 1})/2 \rceil $ 个顶点，即可使诱导子图中至少有两个顶点达到最大度数，且该上界为紧致。
• 本文确定了 $ \Delta = 0,1,2 $ 时 $ g(\Delta,k) $ 的精确值：$ g(0,k) = \lfloor (k-1)/2 \rfloor $，$ g(1,k) = \lfloor (k-1)/2 \rfloor $，$ g(2,k) = k-1 $，并为 $ h(\Delta,k) $（即最大度数 $ \leq \Delta $ 的非 $ k $-可行图的最大顶点数）提供了紧致界。
• 对于森林图 $ F $，本文证明 $ f_k(F) \leq (2k-1)n^{1/3} $，并给出紧致界：当 $ n \geq 2k-1 $ 时 $ f_k(F) \leq 2k-2 $；当 $ k $ 为偶数且 $ n \geq 2k-2 $ 时 $ f_k(F) \leq 2k-3 $。
• 本文给出了一种时间复杂度为 $ O(n^2) $ 的多项式时间算法，用于计算 $ f(G) $（即为使两个最大度数相等而需删除的最少顶点数），从而解决了该问题的计算复杂度问题。
• 本文证明 $ h(\Delta,k) \leq g(\Delta,k) + k - 1 $，并计算出精确值：$ h(0,k) = k-1 $，$ h(1,k) = \lfloor k/2 \rfloor + 2\lfloor (k-1)/2 \rfloor $，当 $ k \geq 3 $ 且为奇数时 $ h(2,k) = 2k-2 $，当 $ k \geq 2 $ 且为偶数时 $ h(2,k) = 2k-3 $。