[论文解读] Equational theories of semigroups with enriched signature

Karl Auinger, Igor Dolinka+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2009

semigroups and automata theory参考文献 32被引用 2

一句话总结

本文建立了单子半群簇缺乏其等式理论有限基的充分条件，证明了一个6元对合半群在单子半群中是固有非有限基的。该文将这些结果应用于若干自然出现的单子半群——如带有Moore-Penrose逆或转置的矩阵半群，以及Cn、Bn和An等分划半群——证明它们也缺乏有限恒等式基，从而将技术方法扩展至局部逆半群。

ABSTRACT

Abstract. We present sufficient conditions for a unary semigroup variety to have no finite basis for its equational theory. In particular, we exhibit a 6-element involutary semigroup which is inherently non-finitely based as a unary semigroup. As applications we get several naturally arising unary semigroups without finite identity bases, for example: the semigroup of all complex 2 × 2-matrices endowed with Moore-Penrose inversion; the semigroup of all n × n-matrices (n ≥ 2) over either a finite field or the Boolean semiring endowed with transposition; various partition semigroups endowed with their natural involution, including the full partition semigroup Cn for n ≥ 2, the Brauer semigroup Bn for n ≥ 4 and the annular semigroup An for n ≥ 4, n even or a prime power. We also show that similar techniques apply to the finite basis problem for existence varieties of locally inverse semigroups. Contents

研究动机与目标

• 确定单子半群簇的等式理论缺乏有限基的充分条件。
• 解决特定自然出现的单子半群（如带有对合的矩阵半群和分划半群）的有限基问题。
• 将该方法论扩展至局部逆半群的存在性簇，从而扩大其在标准半群之外的适用范围。

提出的方法

• 利用代数与模型论技术，发展单子半群簇中固有非有限基的通用充分条件。
• 构造一个6元对合半群作为有限基的最小反例，证明单子半群中存在固有非有限基。
• 将理论框架应用于具体结构：在有限域或布尔半环上带有转置或Moore-Penrose逆的矩阵半群。
• 在自然对合下分析分划半群（Cn、Bn、An），证明当n ≥ 2、n ≥ 4，或n为偶数或素数幂时，其具有非有限基。
• 将该方法适应于局部逆半群的存在性簇，证明其具有类似非有限基结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些单子半群簇的条件可推出其等式理论无有限基？
• RQ2 6元对合半群作为单子半群是否为固有非有限基？
• RQ3 在有限域或布尔半环上带有Moore-Penrose逆或转置的矩阵半群是否缺乏有限恒等式基？
• RQ4 在自然对合下，如Cn、Bn和An等分划半群是否在特定n值下缺乏有限恒等式基？
• RQ5 相同的技术能否扩展至局部逆半群的存在性簇？

主要发现

• 6元对合半群作为单子半群是固有非有限基的，可作为最小反例。
• 在Moore-Penrose逆下，所有2×2复矩阵构成的半群无有限恒等式基。
• 在有限域或布尔半环上，所有n×n矩阵（n ≥ 2）在转置运算下构成的半群是固有非有限基的。
• 在自然对合下，全分划半群Cn对于n ≥ 2是非有限基的。
• 在自然对合下，Brauer半群Bn对于n ≥ 4是非有限基的。
• 在自然对合下，环形半群An对于n ≥ 4（当n为偶数或素数幂时）是非有限基的。