[论文解读] Equations in oligomorphic clones and the Constraint Satisfaction Problem for $\omega$-categorical structures

Libor Barto, Michael Kompatscher+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文建立了关于 $ω$-categorical 结构上约束满足问题（CSP）可 tractability 的两个主要猜想之间的等价性：一个基于多态性类中模外嵌入的线性恒等式，另一个基于非平凡线性恒等式与一致性。论文证明了在寡态性类中的等式控制了自同构群的轨道增长，并利用此结果表明这两个猜想是等价的。该工作还提供了新的证明与应用，包括基于幺半群的简短证明，证明了模型完备核心的存在性，以及对有理序、随机图和随机偏序集的可 tractable 重述的非平凡恒等式推导。

ABSTRACT

There exist two conjectures for constraint satisfaction problems (CSPs) of reducts of finitely bounded homogeneous structures: the first one states that tractability of the CSP of such a structure is, when the structure is a model-complete core, equivalent to its polymorphism clone satisfying a certain non-trivial linear identity modulo outer embeddings. The second conjecture, challenging the approach via model-complete cores by reflections, states that tractability is equivalent to the linear identities (without outer embeddings) satisfied by its polymorphisms clone, together with the natural uniformity on it, being non-trivial. We prove that the identities satisfied in the polymorphism clone of a structure allow for conclusions about the orbit growth of its automorphism group, and apply this to show that the two conjectures are equivalent. We contrast this with a counterexample showing that $\omega$-categoricity alone is insufficient to imply the equivalence of the two conditions above in a model-complete core. Taking a different approach, we then show how the Ramsey property of a homogeneous structure can be utilized for obtaining a similar equivalence under different conditions. We then prove that any polymorphism of sufficiently large arity which is totally symmetric modulo outer embeddings of a finitely bounded structure can be turned into a non-trivial system of linear identities, and obtain non-trivial linear identities for all tractable cases of reducts of the rational order, the random graph, and the random poset. Finally, we provide a new and short proof, in the language of monoids, of the theorem stating that every $\omega$-categorical structure is homomorphically equivalent to a model-complete core.

研究动机与目标

• 建立关于有限有界齐次结构重述的 $ω$-categorical 结构上 CSP 可 tractability 的两个猜想之间的等价性。
• 证明在 $ω$-categorical 结构中，多态性类中的线性恒等式控制了自同构群的轨道增长。
• 使用幺半群理论方法，提供一个简短的新证明，证明每个 $ω$-categorical 结构都同态等价于一个模型完备核心。
• 证明任何足够大 arity 的完全对称多态性模外嵌入都会产生非平凡的线性恒等式系统。
• 为有理序、随机图和随机偏序集的重述的可 tractable 情况推导出具体的非平凡恒等式。

提出的方法

• 分析 $ω$-categorical 结构中多态性类的线性恒等式与自同构群轨道增长之间的关系。
• 使用 Fra€ıssé 极限与闭变换幺半群，从弱寡态性结构构造模型完备核心。
• 应用拉姆齐理论方法，在不同条件下建立等价性，特别是针对齐次结构。
• 引入函数类反射的概念，将结构与其模型完备核心联系起来。
• 将 Siggers 恒等式模外嵌入作为可 tractability 的关键判据，将其与非平凡线性恒等式联系起来。
• 采用幺半群理论技术，证明每个 $ω$-categorical 结构都同态等价于一个模型完备核心。

实验结果

研究问题

• RQ1 关于 $ω$-categorical 结构上 CSP 可 tractability 的两个猜想——一个基于模外嵌入的恒等式，另一个基于一致的非平凡恒等式——是否等价？
• RQ2 在 $ω$-categorical 结构中，多态性类中的线性恒等式如何与自同构群的轨道增长相关？
• RQ3 齐次结构的拉姆齐性质能否用于在不同假设下推导出可 tractability 条件的等价性？
• RQ4 在何种条件下，模外嵌入的完全对称多态性可生成非平凡的线性恒等式系统？
• RQ5 能否为有理序、随机图和随机偏序集的重述的所有可 tractable 情况推导出非平凡线性恒等式？

主要发现

• 关于 $ω$-categorical 结构上 CSP 可 tractability 的两个猜想是等价的，因为多态性类中的线性恒等式控制了自同构群的轨道增长。
• 本文以幺半群语言提供了一个简短的新证明，表明每个 $ω$-categorical 结构都同态等价于一个模型完备核心。
• 任何足够大 arity 的、模外嵌入下完全对称的多态性都会在多态性类中产生一个非平凡的线性恒等式系统。
• 成功地为有理序、随机图和随机偏序集的重述的所有可 tractable 情况推导出非平凡线性恒等式。
• 作者通过从变换幺半群中的极小闭左理想导出的 Fra€ıssé 范畴的 Fra€ıssé 极限，构造了模型完备核心。
• 弱寡态性函数类的反射包含于一个寡态性模型完备核心中，反之亦然，从而建立了保持 CSP 复杂度的对偶性。