[论文解读] Equations involving fractional Laplacian operator: Compactness and application

Shusen Yan, Jianfu Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文为带有次临界扰动和正参数 λ 的分数阶拉普拉斯方程建立了紧致性结果，并在条件 N > 6α 且 λ > 0 下证明了在 Sobolev 空间 H 中的强收敛性。该紧致性结果使得通过变分法证明临界问题存在无穷多组解成为可能。

ABSTRACT

In this paper, we consider the following problem involving fractional Laplacian operator: \begin{equation}\label{eq:0.1} (-Δ)^α u= |u|^{2^*_α-2-\varepsilon}u + λu\,\, { m in}\,\, Ω,\quad u=0 \,\, { m on}\, \, \partialΩ, \end{equation} where $Ω$ is a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^N$, $\varepsilon\in [0, 2^*_α-2)$, $06α$ and $λ>0$. An application of this compactness result is that problem \eqref{eq:0.1} possesses infinitely many solutions under the same assumptions.

研究动机与目标

• 建立带次临界扰动的分数阶 Brézis-Nirenberg 型问题解序列的全局紧致性结果。
• 通过识别 Palais-Smale 序列强收敛的条件，克服分数阶拉普拉斯涉及临界椭圆问题中紧致性的缺失。
• 将经典局部拉普拉斯情形（α = 1）下的紧致性框架推广至非局部分数阶拉普拉斯情形（0 < α < 1）。
• 借助紧致性结果，证明临界问题存在无穷多组解。

提出的方法

• 通过有界区域 Ω ⊂ ℝ^N 上的 Dirichlet 拉普拉斯算子的特征函数，利用谱分解定义分数阶拉普拉斯 (−Δ)^α。
• 在希尔伯特空间 H = {u ∈ L²(Ω) : ∑ₖ λₖ^α uₖ² < ∞} 上工作，配备范数 ‖u‖_H = (∑ₖ λₖ^α uₖ²)^{1/2}。
• 分析与方程 (−Δ)^α u = |u|^{2*ₐ−2−ε}u + λu 在 Ω 内、u = 0 在 ∂Ω 上相关的能量泛函的 Palais-Smale 序列 (uₙ) 的行为。
• 在条件 N > 6α 下，使用平移平面法与爆破分析控制解的爆破行为。
• 应用 Caffarelli-Silvestre 扩展，将分数阶拉普拉斯与上半空间 ℝ^{N+1}_+ 中的退化椭圆问题联系起来。
• 利用 Kelvin 变换与 Harnack 不等式，为扩展问题的解建立衰减估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带次临界扰动的分数阶 Brézis-Nirenberg 问题满足 Palais-Smale 条件？
• RQ2 当临界指数被逼近时，能否在分数阶 Sobolev 空间 H 中建立 Palais-Smale 序列的强收敛性？
• RQ3 解集的紧致性是否意味着临界分数阶问题存在无穷多组解？
• RQ4 维度 N 与参数 λ 如何影响分数阶情形下解的紧致性？

主要发现

• 对于方程 (−Δ)^α u = |u|^{2*ₐ−2−εₙ}u + λu 在 Ω 内、u = 0 在 ∂Ω 上的任意解序列 (uₙ)，其中 εₙ ∈ [0, 2*ₐ−2) 且 ‖uₙ‖_H ≤ C，当 N > 6α 且 λ > 0 时，可在 H 中实现强收敛。
• 该紧致性结果仅在维度 N 超过 6α 时成立，此条件比经典局部情形（α = 1）下的 N > 7 更为严格。
• 临界指数 2*ₐ = 2N/(N−2α) 决定非线性项的增长，并确定紧致性失效的临界阈值。
• 临界问题（ε = 0）存在无穷多组解，是紧致性结果的直接推论。
• 对 ℝ^{N+1}_+ 中扩展问题的解，衰减估计 |v(X)| ≤ C/(1 + |X|²)^{(N−2α)/2} 对控制爆破形态至关重要。
• 使用 Caffarelli-Silvestre 扩展使得非局部问题可通过高维中的局部退化椭圆方程来处理。