[论文解读] Equations of Associativity in Two-Dimensional Topological Field Theory as Integrable Hamiltonian Nondiagonalizable Systems of Hydrodynamic Type

O. I. Mokhov, Eugene Ferapontov|ArXiv.org|May 30, 1995

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用 15

一句话总结

本论文表明，二维拓扑场论中的结合律方程——具体而言是WDVV方程——可重述为可积的哈密顿型流体系统。通过场变量重定义，将三阶偏微分方程转化为3×3阶流体类型系统，作者证明了其中一个系统（1.3）存在局部哈密顿结构，并推导出一种布恰林型变换，将两个不同系统（1.3）与（1.4）的解联系起来，这两个系统对应于WDVV方程的不同解。

ABSTRACT

Equations of associativity in two-dimensional topological field theory (they are known also as the Witten-Dijkgraaf-H.Verlinde-E.Verlinde (WDVV) system) are represented as an example of the general theory of integrable Hamiltonian nondiagonalizable (i.e., do not possessing Riemann invariants) systems of hydrodynamic type. A corresponding local nondegenerate Hamiltonian structure of hydrodynamic type (Poisson bracket of Dubrovin-Novikov type) is found. For n=3 the equations of associativity are reduced to the integrable three wave system by a chain of explicit transformations. Any solution of the integrable three wave system generates solutions of the equations of associativity. Explicit Bäcklund type transformations connecting solutions of different equations of associativity are found.

研究动机与目标

• 建立由WDVV方程导出的可积流体系统（1.3）的哈密顿结构。
• 证明系统（1.3）为非对角化系统且无黎曼不变量，但仍可通过谱方法实现可积性。
• 构造一种布恰林型变换，连接两个不同WDVV相容的流体系统（1.3）与（1.4）的解。
• 证明任意可积三波系统解均可生成WDVV方程（1.1）的解。
• 阐明系统（1.4）的非局部哈密顿结构，其缺乏局部杜勃里宁-诺维科夫型泊松括号。

提出的方法

• 通过场变量 $ a = f_{xxx}, b = f_{xxt}, c = f_{xtt} $ 将WDVV方程转化为3×3阶流体类型系统（1.3）与（1.4）。
• 利用矩阵 $ A $ 和 $ B $ 的谱问题，推导出与流体系统等价的相容性条件。
• 通过构造泊松括号，证明系统（1.3）存在局部非退化杜勃里宁-诺维科夫型哈密顿结构。
• 通过从 $ u^i $（矩阵 $ A $ 的特征多项式根）到 $ p^i $ 的变量变换，得到可积三波系统（3.13）。
• 通过坐标变换 $ ilde{x}, ilde{t} $ 与场变量重定义 $ w^i = 1/u^i $，推导出连接系统（1.3）与（1.4）的布恰林型变换。
• 验证从WDVV方程（1.1）到（1.2）的变换并非接触变换，表明其解空间之间保持可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维拓扑场论中的WDVV方程能否被重述为可积的哈密顿型流体系统？
• RQ2 系统（1.3）的哈密顿结构性质为何？其是否允许存在局部杜勃里宁-诺维科夫泊松括号？
• RQ3 两个不同的WDVV相容系统（1.3）与（1.4）之间有何关系？是否存在一种变换可连接其解？
• RQ4 是否可通过系统化的变量变换，从WDVV系统（1.1）导出可积三波系统？
• RQ5 为何系统（1.4）缺乏局部哈密顿结构？何种非局部结构支配其可积性？

主要发现

• 系统（1.3）具有局部非退化杜勃里宁-诺维科夫型哈密顿结构，证实其可通过标准流体理论实现可积性。
• 系统（1.3）中矩阵 $ A $ 的特征值 $ u^1, u^2, u^3 $ 作为守恒律密度，该系统具有五个线性无关的守恒律。
• 通过微分代换定义的从 $ u^i $ 到 $ p^i $ 的变量变换，将系统（1.3）转化为可积三波系统（3.13），后者可生成WDVV方程（1.1）的解。
• 系统（1.3）与（1.4）之间的布恰林型变换通过坐标变换 $ d ilde{x} = -rac{1}{2}(u^1u^2 + u^1u^3 + u^2u^3)dx + u^1u^2u^3 dt $，$ d ilde{t} = dx $ 以及场变量重定义 $ w^i = 1/u^i $ 实现。
• 从WDVV方程（1.1）到（1.2）的变换并非接触变换，表明其解空间之间存在非典范联系。
• 系统（1.4）不具有局部流体型哈密顿结构；其哈密顿结构为严格非局部，这一点由杜勃里宁-诺维科夫括号的缺失所证实。