[论文解读] Equations of Bielliptic Modular Curves

Josep González|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一套系统性方法，用于计算30条非双椭圆的双椭圆模曲线 $X_0(N)$ 的显式方程，为这些曲线在 $\mathbb{Q}$ 上提供了代数模型。主要贡献在于确定了当 $N \in \{34, 38, 42, \dots, 131\}$ 时 $X_0(N)$ 的方程，从而可通过其双椭圆结构研究这些曲线上的有理点与二次点。

ABSTRACT

We give a procedure to determine equations for the modular curves $X_0(N)$ which are bielliptic and equations for the 30 values of $N$ such that $X_0(N)$ is bielliptic and nonhyperelliptic are presented.

研究动机与目标

• 确定 $X_0(N)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上为双椭圆且非双椭圆的30个 $N$ 值的显式代数方程。
• 提供一种计算方法，利用双椭圆对合与模形式推导此类方程。
• 将已知的具有显式模型的模曲线列表扩展至此前研究的19个双椭圆情形之外。
• 通过利用双椭圆结构，支持对 $X_0(N)$ 上有理点与二次点的算术研究。
• 为所有亏格 $>1$ 的 $X_0(N)$ 提供完整模型，其中在某个对合作用下的商曲线为 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线。

提出的方法

• 该方法依赖于识别在 $\mathbb{Q}$ 上定义的 Atkin-Lehner 对合 $w_d$，其诱导到一个亏格一商曲线的2度映射。
• 对每个 $N$，本文利用 Atkin-Lehner 对合的作用，构造出该亏格一商曲线的有理参数化，该商曲线为 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线。
• 然后通过两个变量的多项式方程，将曲线 $X_0(N)$ 建模为该椭圆商曲线的双覆盖，该方程源于函数域结构与 $q$-展开式。
• 该过程使用 $S_2(\Gamma_0(N))^{\text{new}}$ 中的新形式空间及其 $L$-函数，以验证亏格与双椭圆结构。
• 通过模符号与 Gröbner 基技术，求解椭圆商曲线上有理函数的拉回，从而获得显式方程。
• 通过 Riemann-Hurwitz 公式计算亏格并确认有理尖点的存在，验证了模型的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些 $N$ 值下，$X_0(N)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上为双椭圆且非双椭圆？
• RQ2 如何算法化地计算此类双椭圆模曲线的显式代数模型？
• RQ3 对于 $X_0(N)$，双椭圆对合作用下的亏格一商曲线具有何种结构？
• RQ4 如何将 $X_0(N)$ 的函数域表示为对其亏格一商曲线函数域的二次扩张？
• RQ5 对于这30个非双椭圆双椭圆情形，$X_0(N)$ 的显式多项式方程是什么？

主要发现

• 本文为 $X_0(N)$ 提供了显式方程，适用于30个 $N$ 值，即 $N \in \{34, 38, 42, 43, 44, 45, 51, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 69, 72, 75, 79, 81, 83, 89, 92, 94, 95, 102, 119, 131\}$。
• 对每个这样的 $N$，方程以两个变量的多项式 $P(x,y) = 0$ 形式给出，其系数属于 $\mathbb{Q}$，并在论文的表5与表6中明确列出。
• 每个 $X_0(N)$ 的亏格均大于1，且在双椭圆对合作用下的商曲线为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的亏格一曲线，即具有有理点的椭圆曲线。
• 模型通过 Atkin-Lehner 对合的作用与 $S_2(\Gamma_0(N))^{\text{new}}$ 中新形式的结构构建，确保了正确性与有理数性。
• 该方法成功计算了亏格高达30的曲线模型，例如 $X_0(131)$，其亏格为30，由 $x$ 与 $y$ 的65次多项式定义。
• 通过亏格计算与有理尖点的存在性验证了方程的正确性，确认了双椭圆结构。