[论文解读] Equations of electromagnetism in some special anisotropic spaces

Nicoleta Brinzei, Sergey Siparov|ArXiv.org|Dec 8, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 3被引用 14

一句话总结

本文通过将变分原理扩展至包含度量和电磁势的方向依赖性，推导出弱各向异性Finsler空间中的电磁学修正方程。结果表明，各向异性引入了额外的与速度相关的力和修正的电流密度，且对局部闵氏度量和Berwald-Moor度量的线性扰动情形给出了显式表达式。

ABSTRACT

We show that anisotropy of the space naturally leads to new terms in the expression of Lorentz force, as well as in the expressions of currents.

研究动机与目标

• 研究时空几何的各向异性如何影响电磁学方程，特别是洛伦兹力和电流密度。
• 将标准电动力学变分形式推广至依赖于位置和方向（y）的Finsler空间度量。
• 在局部闵氏度量的弱线性可近似形变下，推导洛伦兹力和电流方程的显式修正项。
• 考察此类修正在特定情形（包括闵氏度量和Berwald-Moor度量）下的物理含义。
• 建立一个在标准相对论对称性可能不完全适用的各向异性几何中解释物理可观测量的框架。

提出的方法

• 为依赖于位置 $ x $ 和方向 $ y $ 的Finsler空间中的电动力学构造拉格朗日量 $ L = \frac{1}{2}g_{ij}(x,y)y^i y^j + \frac{q}{c}A_i(x,y)y^i $，其中度量张量 $ g_{ij}(x,y) $ 具有方向依赖性。
• 对拉格朗日量应用欧拉-拉格朗日方程，推导出运动方程，其中包含由于度量和势的方向依赖性而引入的附加项。
• 引入一个四阶张量 $ F_{mjkl} $，通过三阶张量 $ A_{mjk}(x) $ 的偏导数定义，用于编码各向异性空间中的广义电磁场。
• 利用Cartan张量 $ C_{ijk} $ 及对 $ x^k $ 和 $ y^a $ 的协变导数，处理连接和曲率中的方向依赖性。
• 考虑两种具体情形：闵氏度量的弱扰动和Berwald-Moor度量，推导出修正方程的显式形式。
• 推导广义洛伦兹力方程：$ \frac{dy^i}{dt} + \frac{q}{c}F^i_{\text{~}jkl}y^j y^k y^l + \frac{1}{6}\frac{q}{c}A^i_{\text{~}j0}\frac{dy^j}{dt} = 0 $，其中 $ A^i_{\text{~}j0} = A^i_{jkl}y^l $。

实验结果

研究问题

• RQ1 时空度量的各向异性如何修改电动力学中的标准洛伦兹力定律？
• RQ2 当电磁势和度量依赖于运动方向时，电流密度方程中会出现哪些新项？
• RQ3 当度量是局部闵氏度量的小型线性可近似形变时，运动方程如何变化？
• RQ4 在Berwald-Moor度量情形下，广义洛伦兹力和电流的显式形式是什么？
• RQ5 度量和势的方向依赖性如何影响电动力学的变分形式？

主要发现

• 在各向异性Finsler空间中，洛伦兹力获得一个额外项 $ \frac{q}{c}A^i_{\text{~}j0}\frac{dy^j}{dt} $，其依赖于速度导数和方向性势。
• 出现一个新的广义电磁场张量 $ F_{mjkl} $，在最后三个指标上对称，由势 $ A_{mjk}(x) $ 的三阶导数定义，形成一个四阶协变张量场。
• 在Berwald-Moor度量下，拉格朗日量变为 $ L = \frac{1}{2}\tilde{\rho}^4 + \frac{q}{c}A_{ijk}(x)y^i y^j y^k $，由此导出的运动方程包含一个与速度相关的力项 $ F_{mjkl} $。
• 电流密度方程被修正为 $ D_{\frac{\nabla}{\nabla x^i}}F^{ki} + D_{\frac{\nabla}{\nabla y^a}}F^{ka} = J^k $，反映了场强散度的方向依赖性。
• 在弱扰动闵氏度量情形下，修正项显式表示为 $ \frac{q}{c}F^i_{\text{~}jkl}y^j y^k y^l $，表明力依赖于运动方向。
• 该形式体系表明，诸如力和电流等物理可观测量的变换行为取决于其在坐标变换下以协变或逆变形式表达，强调了在各向异性几何中变换规则的重要性。