[论文解读] Equations of Motion Formulation of a Pendulum Containing N-point Masses

Boran Yesilyurt|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2019

Aerospace Engineering and Control Systems参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文通过拉格朗日力学与基于向量的推导，提出了一种适用于具有 n 个质点质量的摆的运动方程的紧凑且通用的公式化表达，实现了对复杂系统的高效计算。其主要贡献在于表明：在满足特定条件时，当 n → ∞，该系统收敛于具有重力修正项的波动方程所描述的悬挂绳索动力学。

ABSTRACT

This paper presents a general formulation of equations of motion of a pendulum with n point mass by use of two different methods. The first one is obtained by using Lagrange Mechanics and mathematical induction(inspection), and the second one is derived by defining a vector. Today, these equations can be obtained by employing numerous programs; however, this study gives a very compact form of these equations that is more efficient than solving Euler-Lagrange Equations for every pendulum with more complex structures than simple or double pendulum. Additionally, we investigate what will happen to our n-point mass system when we take limit as number of point masses goes infinity under well-defined assumptions. We find out that it converges to hanging rope system.

研究动机与目标

• 推导出一种适用于 n 个质点质量摆系统的闭式、可扩展的运动方程，避免对每个系统重复求解欧拉-拉格朗日方程。
• 为高阶摆提供一种计算效率更高的标准数值方法替代方案。
• 研究 n 个质点质量系统在 n 趋近于无穷大时的连续极限。
• 证明该系统在适当假设下收敛于具有均匀质量密度的悬挂绳索的已知动力学方程。

提出的方法

• 通过数学归纳法对系统的动能与势能表达式进行推导，基于拉格朗日力学。
• 使用每个质点的位置与速度的向量表达式来构建拉格朗日量。
• 应用欧拉-拉格朗日方程，推导出任意广义坐标 θj 的一般运动方程。
• 使用类似克罗内克 δ 的 σjk 函数来编码质点之间的耦合项。
• 对 n→∞ 的极限进行分析，将离散系统建模为具有质量密度 μ 的连续绳索。
• 推导出连续波动方程：∂²x/∂t² = g(L−y)∂²x/∂y² − g∂x/∂y，表明其收敛于悬挂绳索的动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不为每个系统重复求解欧拉-拉格朗日方程，而推导出 n 个质点质量摆系统的通用闭式运动方程？
• RQ2 当质点数量增加至无穷大时，系统行为如何变化？
• RQ3 在适当假设下，n 个质点质量摆系统是否收敛于已知的悬挂绳索动力学？
• RQ4 当 n→∞ 时，该摆系统的连续极限运动方程形式为何？
• RQ5 重力项与耦合项在连续绳索的最终波动方程中如何体现？

主要发现

• 推导出适用于任意 θj 的 n 个质点质量摆的紧凑且通用的运动方程，对任意 n 均有效。
• 所推导的方程通过涉及质量与长度参数的结构化求和，高效地捕捉了所有质点间的耦合项。
• 在满足特定条件时，系统收敛于波动方程 ∂²x/∂t² = g(L−y)∂²x/∂y² − g∂x/∂y，当 n→∞。
• 所得连续极限方程与具有均匀质量密度的悬挂绳索的已知运动方程完全一致。
• 推导结果证实，重力势能与张力效应在连续极限中自然地被编码，解释了 ∂x/∂y 和 (L−y) 项的出现。
• 变量分离导出零阶贝塞尔方程，证实连续极限下系统的振动态由贝塞尔函数决定。