[论文解读] Equidistribution and coprimality

José Fernández, Pablo Fernández|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用 7

一句话总结

本论文研究了 ℕʳ 中互质 r 元组的等分布性与渐近密度，重点关注在可除性约束下互质、两两互质以及 k 重互质的 r 元组。通过 zeta 函数与 Jordan totient 函数，建立了精确的渐近密度，并对偏差函数给出了紧致界，表明偏差以 O(lnʳ⁻¹(n)/n) 的速率衰减。

ABSTRACT

This paper is devoted to the study of equidistributional properties of extit{totient points} in $\mathbb{N}^r$, that is, of coprime $r$-tuples of integers, with particular emphasis on some relevant sets of totient points fulfilling extra divisibility or coprimality conditions, or lying on arithmetic progressions.

研究动机与目标

• 分析 ℕʳ 中互质 r 元组的等分布性，特别关注互质、两两互质或 k 重互质条件。
• 确定满足额外可除性或互质性约束的特殊 r 元组集合的渐近密度。
• 通过偏差函数量化等分布速率，尤其针对两两互质的 r 元组。
• 将经典互质对结果推广至具有结构化互质性与可除性条件的高维 r 元组。

提出的方法

• 使用 {1,…,n} 中均匀随机 r 元组的概率模型，通过极限定理推导渐近密度。
• 应用容斥原理与 Möbius 反演来计数满足互质性与可除性条件的 r 元组。
• 采用 Jordan totient 函数 φᵣ(m) 与乘法数论函数，表达受限 r 元组的精确密度。
• 通过 Toth 关于带互质性条件的格点计数的定理的改进版本推导偏差界。
• 分析 [0,1]ʳ 中 gcd 与 lcm 值在归一化网格上相关归一化测度的极限行为。
• 建立 gcd 与 lcm 加权测度收敛至 Lebesgue 测度或非均匀极限的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℕʳ 中，r 元组彼此互质且每个均被一个具有两两互质项的固定 r 元组 𝐚 整除的渐近密度是多少？
• RQ2 当 n → ∞ 时，两两互质 r 元组集合的偏差如何衰减？
• RQ3 在 [0,1]ʳ 中，将质量 gcd(x₁,…,xᵣ) 置于点 (x₁/n,…,xᵣ/n) 的归一化测度的极限分布是什么？
• RQ4 将质量 lcm(x₁,…,xᵣ) 置于点 (x₁/n,…,xᵣ/n) 的归一化测度在高维中是否收敛至 Lebesgue 测度？
• RQ5 乘法数论函数 fᵣ(u) = ∏_{p|u}(1 - r/(p + r - 1)) 如何影响满足混合可除性与互质性条件的 r 元组的密度？

主要发现

• 彼此互质的 r 元组的渐近密度为 Dₛ = 1/ζ(r)，而两两互质 r 元组的密度为 Dₛ = Tᵣ，其中 Tᵣ 是通过 Euler 乘积定义的已知常数。
• 对于一个具有两两互质项的固定 r 元组 𝐚，被 𝐚 整除且彼此互质的 r 元组的密度为 Dₛ = (1/ζ(r)) · φᵣ₋₁(|𝐚|)/φᵣ(|𝐚|))，其中 φᵣ 为 Jordan totient 函数。
• 两两互质 r 元组集合的偏差 Δₛ(n) 满足 cᵣ/n ≤ Δₛ(n) ≤ Cᵣ lnʳ⁻¹(n)/n，表明其衰减速率为 O(lnʳ⁻¹(n)/n)。
• 将质量 gcd(x,y) 置于 (x/n,y/n) 的归一化测度 νₙ 在 [0,1]² 上弱收敛至 Lebesgue 测度，误差界为 O(1/ln n)。
• 将质量 lcm(x,y) 置于 (x/n,y/n) 的归一化测度 ηₙ 收敛至 [0,1]² 上密度为 4ab 的测度，而非 Lebesgue 测度。
• 在高维 r ≥ 3 时，gcd 加权测度收敛至 Lebesgue 测度，但 lcm 加权测度不收敛至 Lebesgue 测度，其极限为非均匀分布。