[论文解读] Equidistribution des horocycles d'une surface géométriquement finie

Barbara Schapira|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2003

History and Theory of Mathematics被引用 5

一句话总结

该论文利用Patterson-Sullivan测度与横截不变测度，在变负曲率的几何有限曲面上建立了广义双曲曲面的广义测地线等分布结果。证明了在扩张的广义测地线段上的平均值收敛于一个自然的无限不变测度，将经典等分布结果推广至无限体积双曲曲面，且对临界指数无限制条件。

ABSTRACT

In this work, we show equidistribution properties for the horocycles of a geometrically finite surface with variable negative curvature. If the surface is hyperbolic, we deduce an equidistribution result for the orbits of the horocyclic flow, when the surface has infinite volume.

研究动机与目标

• 将广义测地线流的等分布结果从有限体积推广至无限体积双曲曲面。
• 通过识别一个自然的无限不变测度，解决无限体积情形下Liouville测度缺乏遍历性的问题。
• 将等分布结果推广至紧致或有限体积情形之外，特别是适用于具有隧道的曲面。
• 通过横截测度与几何有限性，建立变曲率情形下等分布的框架。
• 在无限质量设定下建立类似Hopf定理的商型等分布定理。

提出的方法

• 在几何有限曲面的单位切丛 $T^1S$ 上，将Patterson-Sullivan测度 $m_{PS}$ 作为关键的不变测度使用。
• 为广义测地线叶状结构引入一个横截不变测度 $\mu$，其在非异常叶上唯一（至多相差一个常数倍），且其支撑在非异常叶上。
• 定义相对于条件测度 $\mu^{ps}_{H^+}$ 的广义测地线球 $B^+(u,r)$ 上的局部平均值 $M_{r,u}(\psi)$。
• 对隧道端施加发散条件 (1)，以确保 $m_{PS}$ 的有限性，该条件在常曲率情形下成立。
• 证明归一化平均值 $M_{r,u}(\psi)$ 沿 $r \to \infty$ 收敛于 $\int \psi \, dm_{PS}$。
• 通过利用几何有限性与曲率上界 $\leq -1$，将无限体积广义测地线流的等分布问题约化为横截测度框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限体积的几何有限双曲曲面上，广义测地线轨道如何行为？
• RQ2 在缺乏有限Liouville测度的情形下，何种不变测度控制广义测地线的等分布？
• RQ3 等分布结果能否在不假设临界指数条件的前提下推广至变曲率曲面？
• RQ4 Patterson-Sullivan测度在无限体积曲面上的等分布中起何种作用？
• RQ5 如何在无限不变测度的背景下表述商型等分布定理？

主要发现

• 对于非异常集 $\mathcal{E}$ 中任意非异常、非周期的向量 $u$，广义测地线轨道上时间平均值的比值收敛于相对于无限不变测度 $m = \mu \circ \lambda$ 的积分比值。
• 关键结果（定理 4.4）建立了商型等分布：当 $t \to \infty$ 时，有 $\frac{\int_{-t}^t \psi \circ h^s(u) \, ds}{\int_{-t}^t \varphi \circ h^s(u) \, ds} \to \frac{\int \psi \, dm}{\int \varphi \, dm}$。
• 在变曲率情形下，定理 2.1 表明，广义测地线球 $B^+(u,r)$ 上的局部平均值在 $r \to \infty$ 时收敛于 $\int \psi \, dm_{PS}$。
• 在发散条件 (1) 下，Patterson-Sullivan测度 $m_{PS}$ 是有限的，并可归一化为概率测度，该条件在常曲率情形下成立。
• 广义测地线叶状结构的唯一横截不变测度 $\mu$，与轨道上的Haar测度 $\lambda$ 的组合，生成了无限不变测度 $m = \mu \circ \lambda$。
• 该结果对Fuchsian群 $\Gamma$ 的临界指数无任何限制，与以往的分析方法不同。