[论文解读] Equidistribution of closed geodesics along random walk trajectories with respect to the harmonic invariant measure

Ilya Gekhtman|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文证明，在CAT(-1)空间的等距群上进行的随机游走中，典型样本路径最终会产生双曲元素，其对应的闭测地线相对于商空间单位切丛上的调和不变测度实现等分布。该结果依赖于遍历理论与测地线的渐近跟踪，表明在较弱的矩条件之下，归一化的测地线测度弱收敛于调和不变测度。

ABSTRACT

We prove that for suitable random walks on isometry groups of $CAT(-1)$ spaces, typical sample paths eventually land on loxodromic elements which equidistribute with respect to a flow invariant measure on the unit tangent bundle of the quotient space.

研究动机与目标

• 建立在CAT(-1)空间中，典型随机游走路径生成的双曲元素所对应的闭测地线的等分布性。
• 刻画这些测地线相对于由调和分析导出的流不变测度的极限分布。
• 将等分布结果从经典的Bowen-Margulis测度推广至由随机游走产生的调和不变测度。
• 在步长分布具有有限二阶矩的条件下，证明归一化测地线测度弱收敛于调和不变测度。

提出的方法

• 利用商空间单位切丛上测地流的Birkhoff遍历定理，分析测地线射线的长期行为。
• 应用次线性跟踪性质（命题1.2），证明随机游走路径渐近地跟随边界处的测地线射线。
• 在CAT(-1)空间中运用比较几何，控制随机游走路径与所生成双曲元素的测地轴之间的Hausdorff距离。
• 使用由边界上平稳测度与R上勒贝格测度的乘积定义的不变测度类，并将其提升至单位切丛。
• 应用Portmanteau定理，将测度的弱收敛关系与开集和闭集测度的liminf和limsup界联系起来。
• 依赖于在T¹X上存在一个G-不变的Radon测度，其属于ĥν × ν × Leb类，且在T¹M上投影为调和不变测度m。

实验结果

研究问题

• RQ1 由典型随机游走路径生成的双曲元素所对应的闭测地线是否相对于商空间上的调和不变测度实现等分布？
• RQ2 在几何有限或拟凸余紧的情形下，调和不变测度与经典Bowen-Margulis测度有何关系？
• RQ3 在步长分布的何种矩条件下，测地线沿随机游走轨迹的等分布性成立？
• RQ4 是否能通过测地流与边界平稳测度的遍历理论方法建立等分布性？
• RQ5 当n → ∞时，ωₙ轴上的归一化长度测度的渐近行为如何？

主要发现

• 对于P-几乎处处的样本路径ω ∈ G^ℕ，当n → ∞时，闭测地线γ_{ωₙ}上的归一化测地线测度D_{ωₙ}弱收敛于T¹M上的调和不变测度m。
• 在μ具有有限二阶矩且满足公理1.4的假设下，该收敛性成立，从而保证了ĥν × ν × Leb类中存在一个G-不变的Radon测度。
• 调和不变测度m关于测地流是遍历的，当G包含抛物元素时，该测度与Bowen-Margulis测度互为奇异。
• 证明表明，对于Borel集A ⊂ T¹M，其测度满足liminf_{n→∞} D_{ωₙ}(A) ≥ m(int(A)) 且 limsup_{n→∞} D_{ωₙ}(A) ≤ m(Ā)，从而确认了弱收敛。
• 由于CAT(-1)空间中的比较几何，该结果对测地轴的小扰动具有鲁棒性，从而可控制随机游走路径与测地线射线之间的距离。
• 关键技术步骤是证明测地线射线γ_{o,ω₊}在A邻域内停留的时间近似于A的测度，该近似可通过渐近跟踪传递至ωₙ的轴上。